A população de trabalhadores está distribuída nas classes A , B e C com as proporções 10 \%, 30 \% e 60 \%, respectivamente. Os homens nessas respectivas classes perfazem 80 \%, 60 \% e 40 \%. Seleciona-se aleatoriamente uma pessoa desta população que resulta ser homem. Então, é verdade que a chance de ele pertencer:
(A) À classe C é três vezes maior do que à classe A
(B) À classe B é duas vezes maior do que à classe A
(C) Às classes A ou C é duas vezes maior do que à classe B
(D) À classe C é maior do que 50 \%
(E) À classe B é maior do que 40 \%

Passo 1

O enunciado dá as distribuições de classes e a proporção de homens em cada classe. Precisamos usar o Teorema de Bayes para achar, por exemplo, P(\text{classe A}\mid \text{homem}), P(\text{classe B}\mid \text{homem}) e P(\text{classe C}\mid \text{homem}).

Passo 2

Calculamos primeiro a probabilidade de selecionar um homem na população:
P(\text{homem}) = P(\text{homem}\mid A)P(A) + P(\text{homem}\mid B)P(B) + P(\text{homem}\mid C)P\text{(C)}
Substituindo os valores:
P(\text{homem}) = 0,8\cdot0,1 + 0,6\cdot0,3 + 0,4\cdot0,6 = 0,08 + 0,18 + 0,24 = 0,50.

Passo 3

Agora aplicamos Bayes em cada classe:
P(A\mid \text{homem}) = \frac{P(\text{homem}\mid A)P(A)}{P(\text{homem})} = \frac{0,08}{0,50} = 0,16,
P(B\mid \text{homem}) = \frac{0,18}{0,50} = 0,36,
P(C\mid \text{homem}) = \frac{0,24}{0,50} = 0,48.

Passo 4

Verificamos as alternativas:
(A) P(C\mid \text{homem}) = 0,48 e P(A\mid \text{homem})=0,16. De fato 0,48 = 3\times0,16.
(B) exigiria 0,36 = 2\times0,16, o que daria 0,32, não bate.
(C) P(A)+P\text{(C)}=0,16+0,48=0,64 e 2P(B)=0,72, também não bate.
(D) P\text{(C)}=0,48<0,50.
(E) P(B)=0,36<0,40.
Portanto só (A) é verdadeira.

Resposta

(A) À classe C é três vezes maior do que à classe A.

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