Uma pessoa quer trocar três cédulas de 100 reais por cédulas de 5,10,20 e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o mínimo de cédulas que poderá receber?
(A) 8 .
(B) 9 .
(C) 10 .
(D) 11 .
(E) 12 .

Passo 1

O enunciado pede trocar três cédulas de 100 reais (total de 300 reais) por cédulas de 5, 10, 20 e 50 reais, recebendo pelo menos uma de cada denominação e, além disso, o máximo possível de cédulas de 50 reais. Queremos, sob essas condições, o mínimo de cédulas no total que a pessoa poderá receber.

Passo 2

Denotemos por
f,x,y,z
os números de cédulas de 50, 20, 10 e 5 reais, respectivamente. As condições são:
  1. f,x,y,z\ge1 (recebe de todas as denominações)
50f + 20x + 10y + 5z = 300
  1. maximizar f
  2. minimar o total de cédulas
N = f + x + y + z.

Passo 3

Primeiro tentamos o maior f possível, que é \lfloor300/50\rfloor=6.
  • Se f=6, então 50\cdot6=300 e sobra 0 reais, mas não daria para ter x,y,z\ge1. Logo f=6 é inviável.
  • A seguir f=5. Então
50\cdot5 = 250,
sobra
R = 300 - 250 = 50
a serem pagos em notas de 20, 10 e 5 reais, isto é,
20x + 10y + 5z = 50, \quad x,y,z\ge1.

Passo 4

Para minimizar N=f+x+y+z com f=5, basta minimizar
x+y+z
sob
20x + 10y + 5z = 50, \quad x,y,z\ge1.
Observação: cédulas de maior valor “carregam” mais soma por cédula, reduzindo o número de cédulas. Testamos combinações:
  • Se x=2,y=1 então 20\cdot2+10\cdot1=50, sobraria 5z=0, dando z=0 (inválido, precisa z\ge1).
  • Se x=1,y=1 então 20+10=30, sobra 5z=20, ou seja z=4. Aqui x+y+z=1+1+4=6.
  • Se x=1,y=2 então 20+20=40, sobra 5z=10, ou seja z=2. Aqui
x+y+z = 1+2+2 =5,
que é menor que 6.
  • Testes com y>2 ou x>1 levam a z<1 ou excesso de soma.
Logo a melhor solução no residual é x=1, y=2, z=2.

Passo 5

Com f=5, x=1, y=2, z=2, o total de cédulas é
N = f + x + y + z = 5 + 1 + 2 + 2 = 10.

Resposta

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