Uma pessoa quer trocar três cédulas de 100 reais por cédulas de
e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o mínimo de cédulas que poderá receber?
(A) 8 .
(B) 9 .
(C) 10 .
(D) 11 .
(E) 12 .
(A) 8 .
(B) 9 .
(C) 10 .
(D) 11 .
(E) 12 .
Passo 1
O enunciado pede trocar três cédulas de
reais (total de
reais) por cédulas de
,
,
e
reais, recebendo pelo menos uma de cada denominação e, além disso, o máximo possível de cédulas de
reais. Queremos, sob essas condições, o mínimo de cédulas no total que a pessoa poderá receber.
Passo 2
Denotemos por
os números de cédulas de
,
,
e
reais, respectivamente. As condições são:
-
(recebe de todas as denominações)
- maximizar
- minimar o total de cédulas
Passo 3
Primeiro tentamos o maior
possível, que é
.
- Se
, então e sobra reais, mas não daria para ter . Logo é inviável. - A seguir
. Então
sobra
a serem pagos em notas de
,
e
reais, isto é,
Passo 4
Para minimizar
com
, basta minimizar
sob
Observação: cédulas de maior valor “carregam” mais soma por cédula, reduzindo o número de cédulas. Testamos combinações:
- Se
então , sobraria , dando (inválido, precisa ). - Se
então , sobra , ou seja . Aqui . - Se
então , sobra , ou seja . Aqui
que é menor que
.
- Testes com
ou levam a ou excesso de soma.
Logo a melhor solução no residual é
,
,
.
Passo 5
Com
,
,
,
, o total de cédulas é