¿Por qué decimos que los vectores momento que representan las cuplas son “vectores libres”? Demuestre.
Passo 1
El enunciado pide demostrar que los vectores momento que representan las cuplas son vectores libres, es decir, que su resultado no depende del punto de referencia elegido. El contenido que usaremos es el cálculo de momentos de fuerzas en mecánica y la propiedad de vectores libres (invariancia traslacional).
Passo 2
Definamos una cupla como un par de fuerzas iguales y opuestas
y
aplicadas en los puntos
y
. Si tomamos un origen
, los vectores posición desde
a dichos puntos son
y
. El momento neto respecto a
es
Passo 3
Ahora cambiamos el origen a otro punto
desplazado de
por el vector
. Las nuevas posiciones valen
El momento respecto a
es
Passo 4
Desarrollemos el producto:
Agrupando términos,
Passo 5
Como la cupla tiene
y
, se cumple
. Entonces
y por lo tanto
Passo 6
Hemos visto que al trasladar el origen en cualquier
, el momento de la cupla permanece igual. Esa invariancia es justamente la definición de vector libre: su magnitud y dirección no dependen del punto de aplicación.
Resposta
El vector momento de una cupla es un vector libre porque su valor no varía al trasladar el punto de referencia; queda totalmente determinado por la misma cupla y no por el origen elegido.