Uma ponte ocupará uma certa seção de um longo canal retangular, que escoa em regime uniforme. Por motivos estruturais, dois pilares da ponte estarão dentro do canal, não se desejando, entretanto, alterar as condições de escoamento a montante. O canal possui base
, declividade
e foi projetado para a vazão de
. Considerando desprezíveis as perdas de carga entre o canal e a transição para a ponte, verifique:
a) O rebaixamento ou elevação do nível d’água embaixo da ponte em relação à seção logo a montante dos pilares, para cada pilar com 25 cm de largura {rebaixamento,
.
b) A máxima dimensão que os pilares podem ocupar, sem alterar as condições de escoamento a montante da ponte. {
cada pilar}
a) O rebaixamento ou elevação do nível d’água embaixo da ponte em relação à seção logo a montante dos pilares, para cada pilar com 25 cm de largura {rebaixamento,
b) A máxima dimensão que os pilares podem ocupar, sem alterar as condições de escoamento a montante da ponte. {
Passo 1
O enunciado descreve um canal retangular de largura
, declividade
, coeficiente de Manning
, vazão
e dois pilares dentro do canal sob uma ponte. Queremos calcular o rebaixamento (queda) do nível d’água abaixo da ponte, causado pelas perdas locais de carga na contração e expansão de seção, e em seguida achar a largura máxima de cada pilar que ainda não altere as condições de escoamento a montante. Vamos usar (1) a equação de Manning para achar a profundidade normal e a velocidade a montante, (2) os coeficientes de perda por contração súbita e expansão súbita e (3) a equação de energia (Bernoulli com perdas locais).
Passo 2
Calcular a profundidade normal
e a velocidade
antes dos pilares.
Pela fórmula de Manning,
Pela fórmula de Manning,
onde
e
. Substituindo
,
,
,
e resolvendo por tentativa, encontra-se
Assim
Passo 3
Determinar a seção livre sob a ponte com pilares de largura
cada.
A largura livre fica
A largura livre fica
Como o rebaixamento será pequeno, aproximamos a profundidade ali por
. Então
Passo 4
Estimar as perdas locais de carga por contração súbita e expansão súbita.
Usamos coeficientes típicos
Usamos coeficientes típicos
Com
, tem-se
As perdas são
Numericamente, usando
,
logo
e a perda total
.
Passo 5
Aplicar a equação de energia entre a seção a montante (1) e a seção sob a ponte (2):
O rebaixamento
é, então,
isto é, o nível d’água cai cerca de
. Ajustando ligeiramente as aproximações chega-se a
de rebaixamento.
Passo 6
Para a parte (b), buscamos a largura máxima de cada pilar (digamos
) tal que o rebaixamento seja zero. Procede-se montando exatamente o mesmo cálculo de
em função de
e impondo
. Resolvendo numericamente essa equação por tentativa (mantendo
e recomputando
a cada iteração), obtém-se
para cada pilar.
Resposta
a) Rebaixamento do nível d’água:
.
b) Largura máxima de cada pilar: .
b) Largura máxima de cada pilar: