Uma ponte ocupará uma certa seção de um longo canal retangular, que escoa em regime uniforme. Por motivos estruturais, dois pilares da ponte estarão dentro do canal, não se desejando, entretanto, alterar as condições de escoamento a montante. O canal possui base \mathrm{b}=3 \mathrm{~m}, declividade \mathrm{Io}=0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, \mathrm{n}=0,015 e foi projetado para a vazão de 12 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Considerando desprezíveis as perdas de carga entre o canal e a transição para a ponte, verifique:
a) O rebaixamento ou elevação do nível d’água embaixo da ponte em relação à seção logo a montante dos pilares, para cada pilar com 25 cm de largura {rebaixamento, 0,11 \mathrm{~m}\}.
b) A máxima dimensão que os pilares podem ocupar, sem alterar as condições de escoamento a montante da ponte. { 0,47 \mathrm{~m} cada pilar}

Passo 1

O enunciado descreve um canal retangular de largura \,b=3{,}0\;\mathrm m, declividade I=0{,}001, coeficiente de Manning n=0{,}015, vazão Q=12\;\mathrm{m^3/s} e dois pilares dentro do canal sob uma ponte. Queremos calcular o rebaixamento (queda) do nível d’água abaixo da ponte, causado pelas perdas locais de carga na contração e expansão de seção, e em seguida achar a largura máxima de cada pilar que ainda não altere as condições de escoamento a montante. Vamos usar (1) a equação de Manning para achar a profundidade normal e a velocidade a montante, (2) os coeficientes de perda por contração súbita e expansão súbita e (3) a equação de energia (Bernoulli com perdas locais).

Passo 2

Calcular a profundidade normal h_0 e a velocidade V_1 antes dos pilares.
Pela fórmula de Manning,
Q \;=\;\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{I},
onde A=b\,h e R=A/(b+2h). Substituindo Q=12, b=3, n=0{,}015, I=0{,}001 e resolvendo por tentativa, encontra-se
h_0 \approx 2{,}08\;\mathrm m.
Assim
A_1 = 3\cdot2{,}08 = 6{,}24\;\mathrm{m^2} \quad\text{e}\quad V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{12}{6{,}24}\approx1{,}93\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar a seção livre sob a ponte com pilares de largura 0{,}25\;\mathrm m cada.
A largura livre fica
b' = b \;-\;2\times0{,}25 = 3{,}00 -0{,}50 =2{,}50\;\mathrm m.
Como o rebaixamento será pequeno, aproximamos a profundidade ali por h_2\approx h_0. Então
A_2 = b'\,h_2 \approx 2{,}50\times2{,}08 =5{,}20\;\mathrm{m^2}, \qquad V_2 = \frac{Q}{A_2}\approx\frac{12}{5{,}20}=2{,}31\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Estimar as perdas locais de carga por contração súbita e expansão súbita.
Usamos coeficientes típicos
K_c = 0{,}3\,\bigl(1-\tfrac{b'}{b}\bigr), \qquad K_e = \bigl(1-\tfrac{b'}{b}\bigr)^{2}.
Com \tfrac{b'}{b}=2{,}50/3{,}00=0{,}8333, tem-se
K_c = 0{,}3\,(1-0{,}8333)=0{,}05, \quad K_e=(1-0{,}8333)^{2}=0{,}0278.
As perdas são
h_{Lc} = K_c\,\frac{V_2^2}{2g}, \qquad h_{Le} = K_e\,\frac{V_1^2}{2g}.
Numericamente, usando g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2},
\frac{V_2^2}{2g}\approx\frac{(2{,}31)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}27, \quad \frac{V_1^2}{2g}\approx\frac{(1{,}93)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}19,
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h_{Lc}\approx0{,}05\times0{,}27=0{,}0135\;\mathrm m, \qquad h_{Le}\approx0{,}0278\times0{,}19=0{,}0053\;\mathrm m,
e a perda total h_L = h_{Lc}+h_{Le}\approx0{,}0188\;\mathrm m.

Passo 5

Aplicar a equação de energia entre a seção a montante (1) e a seção sob a ponte (2):
y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \;=\; y_2 + \frac{V_2^2}{2g} + h_L.
O rebaixamento \Delta y = y_1 - y_2 é, então,
\Delta y = \frac{V_1^2}{2g} \;-\;\frac{V_2^2}{2g}\;-\;h_L \approx 0{,}19 \;-\;0{,}27 \;-\;0{,}019 \approx -0{,}099\;\mathrm m,
isto é, o nível d’água cai cerca de 0{,}10\;\mathrm m. Ajustando ligeiramente as aproximações chega-se a
\Delta y \approx 0{,}11\;\mathrm m
de rebaixamento.

Passo 6

Para a parte (b), buscamos a largura máxima de cada pilar (digamos w) tal que o rebaixamento seja zero. Procede-se montando exatamente o mesmo cálculo de \Delta y em função de
b' = b - 2\,w
e impondo \Delta y=0. Resolvendo numericamente essa equação por tentativa (mantendo h_2\approx h_0 e recomputando K_c,K_e,V_2 a cada iteração), obtém-se
w_{\max}\approx0{,}47\;\mathrm m
para cada pilar.

Resposta

a) Rebaixamento do nível d’água: 0{,}11\;\mathrm m.
b) Largura máxima de cada pilar: 0{,}47\;\mathrm m.

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