A porcentagem de álcool ( 100 x ) em um certo composto pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função de densidade:
ll f(x)=20 x^3(1-x) & para 0 <= x <= 1 f(x)=0 & para outros valores de x
Determine a probabilidade de X estar entre 0,4 e 0,9

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a porcentagem de álcool f(x) = 20,x^3,(1 - x), & 0 <= x <= 1, 0, & fora disso num composto é uma variável contínua com densidade
P(0.4 <= X <= 0.9) ;=;integral0.4^0.9 f(x),dx
E a questão quer a probabilidade de ficar entre 0,4 e 0,9. O conteúdo aqui é variável contínua e a gente vai usar integração de polinômios pra calcular

Passo 2

Primeiro, lembrando o básico: pra qualquer variável contínua com densidade P(a <= X <= b) = integrala^b f(x),dx ,
integral0.4^0.9 20,x^3,(1 - x),dx
Então aqui vamos fazer
A ideia é expandir o produto e aplicar a regra de integral de potências:
  1. Expande:
    .
  2. Integral de é .

Passo 3

Vamos achar a antiderivada de integral 20(x^3 - x^4),dx = 20l(tfracx^44 - tfracx^55r) = 5,x^4 ;-; 4,x^5 :
P(0.4 <= X <= 0.9) = l[,5,x^4 - 4,x^5r]0.4^0.9
Então

Passo 4

Agora é só avaliar nos limites 0,9 e 0,4:
  1. Em 5,(0.9)^4 ;-; 4,(0.9)^5 = 5cdot0.6561 ;-; 4cdot0.59049 = 3.2805 ;-; 2.36196 = 0.91854 : 5,(0.4)^4 ;-; 4,(0.4)^5 = 5cdot0.0256 ;-; 4cdot0.01024 = 0.128 ;-; 0.04096 = 0.08704
  2. Em P(0.4 <= X <= 0.9) = 0.91854 ;-; 0.08704 = 0.83150approx0.832 :
Subtraindo:

Resposta

A probabilidade de boxed0,832 estar entre 0,4 e 0,9 é aproximadamente

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