A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora é historicamente estimada em 6%. A produção da montadora vem de três fábricas distintas, da matriz A e das filiais B e C, nas seguintes proporções: 60%, 30% e 10%, respectivamente. Sabe-se que a proporção de defeitos na matriz A é o dobro da filial B e, da filial B é o quádruplo da filial C. Determine a porcentagem de defeito de cada fábrica.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular a questão:
A montadora entrega carros com defeito em média 6 % do total. Ela produz em 3 fábricas (A, B e C) nas proporções 60 %, 30 % e 10 %, respectivamente. Sabemos também que a taxa de defeitos de A é o dobro da de B, e a de B é quatro vezes a de C.
Conteúdo: média ponderada de porcentagens e sistema simples de equações.
O que vamos precisar:
  • Definir variáveis para as taxas de defeito de cada fábrica.
  • Montar a média ponderada (isto é, o “peso” de cada fábrica multiplicado pela sua taxa de defeito).
  • Resolver a equação para descobrir cada taxa.

Passo 2

Definindo variáveis e relações:
Seja
= taxa de defeito (em decimal) da fábrica C,
então
(porque B tem quatro vezes mais defeitos que C)
e
(A tem o dobro de B).

Passo 3

Montando a média ponderada:
A média global de defeitos é 6 % = 0,06.
Como 60 % da produção vem de A, 30 % de B e 10 % de C, a fórmula é
0,6,xA ;+; 0,3,xB ;+; 0,1,xC ;=; 0,06
Agora substituímos 0,6,(8,xC) + 0,3,(4,xC) + 0,1,xC = 0,06 e em função de :

Passo 4

Vamos simplificar e achar 4,8,xC + 1,2,xC + 0,1,xC = (4,8 + 1,2 + 0,1),xC = 6,1,xC :
  1. Multiplicando: 6,1,xC = 0,06 Longrightarrow xC = 0,066,1 approx 0,009836 e xB = 4,xC approx 4 times 0,009836 = 0,039344, .
  2. Soma-los: xA = 8,xC approx 8 times 0,009836 = 0,078688
  3. Então a equação fica xC approx 0,9836%, xB approx 3,9344%, xA approx 7,8688%
  4. Agora calculamos as outras:
  5. Convertendo para porcentagem:

Resposta

Taxas de defeito aproximadas:
Fábrica A: 7,87 %
Fábrica B: 3,93 %
Fábrica C: 0,98 %

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