A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora é historicamente estimada em
. A produção da montadora vem de três fábricas distintas, da matriz A e das filiais B e C, nas seguintes proporções:
,
e
, respectivamente. Sabe-se que a proporção de defeitos na matriz A é o dobro da filial B e, da filial B é o quádruplo da filial C. Determine a porcentagem de defeito de cada fábrica.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular a questão:
A montadora entrega carros com defeito em média 6 % do total. Ela produz em 3 fábricas (A, B e C) nas proporções 60 %, 30 % e 10 %, respectivamente. Sabemos também que a taxa de defeitos de A é o dobro da de B, e a de B é quatro vezes a de C.
Conteúdo: média ponderada de porcentagens e sistema simples de equações.
O que vamos precisar:
A montadora entrega carros com defeito em média 6 % do total. Ela produz em 3 fábricas (A, B e C) nas proporções 60 %, 30 % e 10 %, respectivamente. Sabemos também que a taxa de defeitos de A é o dobro da de B, e a de B é quatro vezes a de C.
Conteúdo: média ponderada de porcentagens e sistema simples de equações.
O que vamos precisar:
- Definir variáveis para as taxas de defeito de cada fábrica.
- Montar a média ponderada (isto é, o “peso” de cada fábrica multiplicado pela sua taxa de defeito).
- Resolver a equação para descobrir cada taxa.
Passo 2
Definindo variáveis e relações:
Seja
= taxa de defeito (em decimal) da fábrica C,
então
(porque B tem quatro vezes mais defeitos que C)
e
(A tem o dobro de B).
Seja
então
e
Passo 3
Montando a média ponderada:
A média global de defeitos é 6 % = 0,06.
Como 60 % da produção vem de A, 30 % de B e 10 % de C, a fórmula é
A média global de defeitos é 6 % = 0,06.
Como 60 % da produção vem de A, 30 % de B e 10 % de C, a fórmula é
Agora substituímos
e
em função de
:
Passo 4
Vamos simplificar e achar
:
- Multiplicando:
e . - Soma-los:
- Então a equação fica
- Agora calculamos as outras:
- Convertendo para porcentagem:
Resposta
Taxas de defeito aproximadas:
Fábrica A: 7,87 %
Fábrica B: 3,93 %
Fábrica C: 0,98 %
Fábrica A: 7,87 %
Fábrica B: 3,93 %
Fábrica C: 0,98 %