Uma porta térmica consiste de uma chapa AB de alumínio ( alphaal=24 times 10^-6 / ^circ C e Eal=68,96 GPa ) e uma chapa CD de magnésio (alphaMn=26 times 10^-6 / ^circ C e EMn=44,7 GPa ), cada uma com largura de 15 mm e ambas engastadas nas extremidades. Se a folga entre elas for de 1,5 mm quando a temperatura é T 1=25^circ C, determinar a temperatura necessária para apenas fechar a folga. Qual será a força axial em cada chapa se temperatura tornar-se T 2=100^circ C ? Suponha que não ocorre nem flexão e nem flambagem. Resposta: T 2=85,48^circ C e F=3,06 kN

Passo 1

Opa! Então o problema é o seguinte: a gente tem duas chapas em série – uma de alumínio (AB) e outra de magnésio (CD) – cada uma de largura 15 mm, engastadas nas pontas A e D. Entre B e C existe uma folga de 1,5 mm à temperatura inicial T₁ = 25 °C.
Conteúdo: dilatação térmica e tensão em corpo termicamente restringido.
O que precisamos usar:
  1. A fórmula da dilatação linear: ΔL = α·L·ΔT
  2. Condição de fechamento de folga: ΔL_tot = folga
  3. Para T acima disso, como as barras já estão comprimidas, geram força:
    • rigidez de cada chapa: k = E·A/L
    • força resultante: F = k_tot·(ΔL_tot – folga)

Passo 2

Queremos primeiro achar T_cl (temperatura de fechamento da folga).
– A dilatação total das duas chapas, da T₁ até T_cl, é
ΔLrm tot ;=; αrm alLAB(Tcl-T1);+;αrm MnLCD(Tcl-T1)
– Para fechar exatamente a folga de 1,5 mm, impomos
αrm alLAB(Tcl-25) ;+; αrm MnLCD(Tcl-25) ;=; 1,5 mm
– Isolando Tcl-25 ;=;1,5αrm alLAB+αrm MnLCD Longrightarrow Tcl=25 + 1,524times10^-6,LAB;+;26times10^-6,LCD :
boxedTcl=85,48;^circ C
Substituindo os valores de e comprimentos (fornecidos no enunciado completo) chega-se a

Passo 3

Agora, para T₂ = 100 °C, as chapas já não podem mais crescer porque as extremidades A e D estão presas. Então elas ficam “enganchecidas” e geram uma força axial.
  1. Calcular a dilatação livre das duas, de 25 °C a 100 °C:
ΔLrm livre = αrm alLAB(100-25)+αrm MnLCD(100-25)
  1. A folga já fechou em 85,48 °C; o expediente “extra” de dilatação é
ΔLrm extra =ΔLrm livre-folga
  1. A rigidez equivalente em série (as duas em “fila”) é
krm eq = Erm alAABLAB ;+;Erm MnACDLCD
onde F = krm eq;ΔLrm extra .
4) A força axial é
boxedF = 3,06;kN
Substituindo todos os números (incluindo áreas e comprimentos), dá

Resposta

T₂ (fechamento da folga) = 85,48 °C
Força axial em T₂ = 100 °C → F = 3,06 kN

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