1. (PORTO, 2006, p. 25) Entre os dois reservatórios mantidos em níveis constantes, encontra-se uma máquina hidráulica instalada em um tubo com área igual a 0,01 \mathrm{~m}^{2}. Para uma vazão 20 \mathrm{~L} / \mathrm{s} entre os reservatórios, um manômetro colocado na seção B indica uma pressão de 7 mca e a perda de carga entre as seções D e C é igual a 7,5 \mathrm{~m}. Determine o sentido do escoamento, a perda de carga entre as seções A e B , as cotas piezométricas em B e C , o tipo de máquina (bomba ou turbina) e a potência da máquina se o rendimento é de 80 \%. A cota da bomba é 0 m .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os valores da figura quando aplicável).
Dados fornecidos:
  • Área da tubulação: A=0,01\\ \mathrm{m^2} (peguei da figura).
  • Vazão: Q=20\\ \mathrm{L/s}=0,02\\ \mathrm{m^3/s} (peguei do enunciado).
  • Pressão indicada pelo manômetro em B: p_B correspondente a 7\\ \mathrm{mca}, ou seja, p_B/(\rho g)=7\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • Perda de carga entre D e C: h_{DC}=7,5\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • Cota da superfície livre do reservatório A: z_A=10,0\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • Cota da superfície livre do reservatório D: z_D=2,0\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • A cota (elevação) da bomba/máquina é z_{máq}=0\\ \mathrm{m}á (informado).
  • Rendimento da máquina: \eta=80\% =0,80.
O enunciado pede:
  1. Determinar o sentido do escoamento.
  2. Determinar a perda de carga entre A e B, h_{AB}.
  3. Determinar as cotas piezométricas em B e em C (ou seja, z+p/(\rho g) em cada ponto).
  4. Identificar o tipo de máquina (bomba ou turbina).
  5. Determinar a potência da máquina considerando \eta=0,80.
Observações iniciais que usarei: assume-se escoamento permanente e seção constante (velocidade uniforme na tubulação). Vou usar a equação de Bernoulli (energia por unidade de peso) mais perdas e a definição de cabeça dinâmica.

Passo 2

Calcular a velocidade e a cabeça cinética (dinâmica) na tubulação — fórmula e explicação.
Fórmula: a velocidade média em um conduto de seção A é
v=\dfrac{Q}{A},
onde v é a velocidade em \mathrm{m/s}, Q é a vazão em \mathrm{m^3/s} e A é a área em \mathrm{m^2}.
Cálculo:
v=\dfrac{0,02}{0,01}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
A cabeça dinâmica (energia cinética por unidade de peso) é
\dfrac{v^{2}}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Isso representa quantos metros de coluna de água equivalem à energia cinética do fluido.
Cálculo:
\dfrac{v^{2}}{2g}=\dfrac{(2{,}0)^{2}}{2\cdot9{,}81}=\dfrac{4}{19{,}62}=0{,}2039\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Comentário didático: essa cabeça é pequena aqui ( \approx0{,}20\\ \mathrm{m}), então a energia cinética é pouco relevante numericamente, mas não vamos ignorá-la nas contas.

Passo 3

Determinar a perda de carga entre A e B, h_{AB}, usando Bernoulli entre a superfície livre do reservatório A e o ponto B — explicação da equação que usamos.
Princípio: entre dois pontos em um escoamento permanente, a equação de energia (Bernoulli com perdas) pode ser escrita assim (por unidade de peso):
z_A+\dfrac{p_A}{\rho g}+\dfrac{v_A^2}{2g}=z_B+\dfrac{p_B}{\rho g}+\dfrac{v_B^2}{2g}+h_{AB},
onde h_{AB} é a perda de carga entre A e B (positiva), z é a cota vertical, p/(\rho g) a cabeça de pressão e \dfrac{v^2}{2g} a cabeça cinética.
Aplicando ao nosso caso:
  • No reservatório A a superfície é livre: \dfrac{p_A}{\rho g}=0 e v_A\approx0.
  • Em B temos \dfrac{p_B}{\rho g}=7\\ \mathrm{m} (manômetro) e v_B=v calculado antes.
  • Tomamos as cotas com referência onde a máquina está (dado z_{máq}=0á). O tubo é horizontal, logo z_B=0. A cota z_A=10{,}0\\ \mathrm{m}.
Reorganizando para h_{AB} obtemos:
h_{AB}=z_A-z_B-\dfrac{p_B}{\rho g}-\dfrac{v_B^2}{2g}.
Substituindo valores (usando \dfrac{v^{2}}{2g}=0{,}2039\\ \mathrm{m}):
h_{AB}=10{,}0-0-7-0{,}2039=2{,}7961\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para a prova:
h_{AB}\approx2{,}80\\ \mathrm{m}.
Didática: essa fórmula vem direto de comparar a energia na superfície do reservatório (que é só a elevação) com a energia no ponto B (elevação + pressão + velocidade) e atribuir a diferença às perdas.

Passo 4

Calcular as cotas piezométricas em B e em C (explicando o que é cotas piezométrica).
Definição: a cota piezométrica (ou carga piezométrica) em um ponto é
\text{carga piezométrica} = z+\dfrac{p}{\rho g}.é
É a energia de pressão mais a energia potencial por unidade de peso (não inclui a cabeça cinética).
Cota piezométrica em B: já temos z_B=0 e p_B/(\rho g)=7\\ \mathrm{m}, então
\text{piezométrica em }B:\quad z_B+\dfrac{p_B}{\rho g}=0+7=7{,}00\\ \mathrm{m}.é
Para a cota piezométrica em C precisamos primeiro obter a energia total (head total) no ponto C e então subtrair a cabeça cinética. Use Bernoulli entre a superfície livre D e o ponto C (trecho C→D tem perda h_{DC}=7{,}5\\ \mathrm{m}).
Entre C (aguas acima) e a superfície D (aguas abaixo), para o sentido do escoamento A→D vale:
\text{head}_C=\text{head}_D+h_{DC}.
No ponto D (superfície livre) \text{head}_D=z_D=2{,}0\\ \mathrm{m} (pressão atmosférica e v_D\approx0). Logo a cabeça total em C é
\text{head}_C=2{,}0+7{,}5=9{,}5\\ \mathrm{m}.
Mas a cabeça total é \text{head}_C=z_C+\dfrac{p_C}{\rho g}+\dfrac{v_C^2}{2g}. Queremos a piezométrica z_C+\dfrac{p_C}{\rho g}, portanto:
z_C+\dfrac{p_C}{\rho g}=\text{head}_C-\dfrac{v_C^2}{2g}=9{,}5-0{,}2039=9{,}2961\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
\text{piezométrica em }C\approx9{,}30\\ \mathrm{m}.é
Comentário interpretativo (útil para a prova): a piezométrica em B é 7{,}00\\ \mathrm{m} e em C é maior ( \approx9{,}30\\ \mathrm{m}). Um aumento de piezométrica entre B e C indica que a máquina está adicionando energia ao fluido (veremos adiante).

Passo 5

Determinar o sentido do escoamento e o tipo de máquina (explicando o raciocínio).
Observação rápida sobre direção: sem máquina o fluido tenderia a ir do ponto com maior carga total para o de menor carga total. Aqui a superfície A tem carga piezométrica z_A=10{,}0\\ \mathrm{m} (pressão atmosférica), B tem piezométrica 7{,}00\\ \mathrm{m} e D tem 2{,}0\\ \mathrm{m}. Entre B e C a piezométrica aumenta de 7{,}00\\ \mathrm{m} para \approx9{,}30\\ \mathrm{m}, ou seja, a máquina acrescenta energia. Portanto o escoamento efetivamente considerado (pelo sentido adotado nas contas) é de A para D (da esquerda para a direita), e a máquina aumenta a carga — logo é uma bomba (fornece energia ao fluido).
Conclusão concisa:
  • Sentido do escoamento: de A para D.
  • Tipo de máquina: bomba (porque adiciona cabeça positiva ao fluido).

Passo 6

Calcular a cabeça fornecida pela máquina H_m (explicando a fórmula e interpretação do sinal).
Usando as cabeças totais em B e C (acima já calculadas), a máquina fornece a diferença entre a cabeça total em C e a cabeça total em B (desprezando perdas locais no próprio equipamento que não foram fornecidas). Cabeça total em B:
\text{head}_B=z_B+\dfrac{p_B}{\rho g}+\dfrac{v_B^2}{2g}=0+7+0{,}2039=7{,}2039\\ \mathrm{m}.
Cabeça total em C (já obtida):
\text{head}_C=9{,}5\\ \mathrm{m}.
Então a cabeça fornecida pela máquina é
H_m=\text{head}_C-\text{head}_B=9{,}5-7{,}2039=2{,}2961\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
H_m\approx2{,}30\\ \mathrm{m}.
Interpretação do sinal: H_m>0 significa que a máquina fornece energia ao fluido — isto é, é uma bomba.

Passo 7

Calcular a potência da bomba considerando o rendimento \eta=0{,}80 — explicação da fórmula.
Potência hidráulica (energia por segundo entregue ao fluido) é
P_{hid}=\rho g Q H_m,
onde \rho é a densidade da água (usamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}), g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q em \mathrm{m^3/s} e H_m em metros.
A potência elétrica/mecânica que a bomba consome considerando rendimento \eta é
P_{cons}=\dfrac{P_{hid}}{\eta}.
Cálculo numérico:
P_{hid}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}02\cdot2{,}2961=450{,}10\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox.}).
P_{cons}=\dfrac{450{,}10}{0{,}80}=562{,}62\\ \mathrm{W}.
Arredondando para apresentação prática:
P_{cons}\approx563\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Resumo numérico final (preparo para a resposta): todos os resultados já obtidos e arredondados de forma usual para a prova.

Resposta

Sentido do escoamento: de A para D (da esquerda para a direita).
h_{AB}=2{,}80\\ \mathrm{m}.
Cota piezométrica em B: z_B+\dfrac{p_B}{\rho g}=7{,}00\\ \mathrm{m}.
Cota piezométrica em C: z_C+\dfrac{p_C}{\rho g}\approx9{,}30\\ \mathrm{m}.
Tipo de máquina: bomba.
Potência da máquina (consumida, considerando \eta=0{,}80): P\approx563\\ \mathrm{W}.

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