- (PORTO, 2006, p. 25) Entre os dois reservatórios mantidos em níveis constantes, encontra-se uma máquina hidráulica instalada em um tubo com área igual a
. Para uma vazão
entre os reservatórios, um manômetro colocado na seção B indica uma pressão de 7 mca e a perda de carga entre as seções D e C é igual a
. Determine o sentido do escoamento, a perda de carga entre as seções A e B , as cotas piezométricas em B e C , o tipo de máquina (bomba ou turbina) e a potência da máquina se o rendimento é de
. A cota da bomba é 0 m .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os valores da figura quando aplicável).
Dados fornecidos:
- Área da tubulação:
(peguei da figura). - Vazão:
(peguei do enunciado). - Pressão indicada pelo manômetro em B:
correspondente a , ou seja, (peguei da figura). - Perda de carga entre D e C:
(peguei da figura). - Cota da superfície livre do reservatório A:
(peguei da figura). - Cota da superfície livre do reservatório D:
(peguei da figura). - A cota (elevação) da bomba/máquina é
(informado). - Rendimento da máquina:
.
O enunciado pede:
- Determinar o sentido do escoamento.
- Determinar a perda de carga entre A e B,
. - Determinar as cotas piezométricas em B e em C (ou seja,
em cada ponto). - Identificar o tipo de máquina (bomba ou turbina).
- Determinar a potência da máquina considerando
.
Observações iniciais que usarei: assume-se escoamento permanente e seção constante (velocidade uniforme na tubulação). Vou usar a equação de Bernoulli (energia por unidade de peso) mais perdas e a definição de cabeça dinâmica.
Passo 2
Calcular a velocidade e a cabeça cinética (dinâmica) na tubulação — fórmula e explicação.
Fórmula: a velocidade média em um conduto de seção
é
onde
é a velocidade em
,
é a vazão em
e
é a área em
.
Cálculo:
A cabeça dinâmica (energia cinética por unidade de peso) é
onde
. Isso representa quantos metros de coluna de água equivalem à energia cinética do fluido.
Cálculo:
Comentário didático: essa cabeça é pequena aqui (
), então a energia cinética é pouco relevante numericamente, mas não vamos ignorá-la nas contas.
Passo 3
Determinar a perda de carga entre A e B,
, usando Bernoulli entre a superfície livre do reservatório A e o ponto B — explicação da equação que usamos.
Princípio: entre dois pontos em um escoamento permanente, a equação de energia (Bernoulli com perdas) pode ser escrita assim (por unidade de peso):
onde
é a perda de carga entre A e B (positiva),
é a cota vertical,
a cabeça de pressão e
a cabeça cinética.
Aplicando ao nosso caso:
- No reservatório A a superfície é livre:
e . - Em B temos
(manômetro) e calculado antes. - Tomamos as cotas com referência onde a máquina está (dado
). O tubo é horizontal, logo . A cota .
Reorganizando para
obtemos:
Substituindo valores (usando
):
Arredondando de forma prática para a prova:
Didática: essa fórmula vem direto de comparar a energia na superfície do reservatório (que é só a elevação) com a energia no ponto B (elevação + pressão + velocidade) e atribuir a diferença às perdas.
Passo 4
Calcular as cotas piezométricas em B e em C (explicando o que é cotas piezométrica).
Definição: a cota piezométrica (ou carga piezométrica) em um ponto é
É a energia de pressão mais a energia potencial por unidade de peso (não inclui a cabeça cinética).
Cota piezométrica em B: já temos
e
, então
Para a cota piezométrica em C precisamos primeiro obter a energia total (head total) no ponto C e então subtrair a cabeça cinética. Use Bernoulli entre a superfície livre D e o ponto C (trecho C→D tem perda
).
Entre C (aguas acima) e a superfície D (aguas abaixo), para o sentido do escoamento A→D vale:
No ponto D (superfície livre)
(pressão atmosférica e
). Logo a cabeça total em C é
Mas a cabeça total é
. Queremos a piezométrica
, portanto:
Arredondando:
Comentário interpretativo (útil para a prova): a piezométrica em B é
e em C é maior (
). Um aumento de piezométrica entre B e C indica que a máquina está adicionando energia ao fluido (veremos adiante).
Passo 5
Determinar o sentido do escoamento e o tipo de máquina (explicando o raciocínio).
Observação rápida sobre direção: sem máquina o fluido tenderia a ir do ponto com maior carga total para o de menor carga total. Aqui a superfície A tem carga piezométrica
(pressão atmosférica), B tem piezométrica
e D tem
. Entre B e C a piezométrica aumenta de
para
, ou seja, a máquina acrescenta energia. Portanto o escoamento efetivamente considerado (pelo sentido adotado nas contas) é de A para D (da esquerda para a direita), e a máquina aumenta a carga — logo é uma bomba (fornece energia ao fluido).
Conclusão concisa:
- Sentido do escoamento: de A para D.
- Tipo de máquina: bomba (porque adiciona cabeça positiva ao fluido).
Passo 6
Calcular a cabeça fornecida pela máquina
(explicando a fórmula e interpretação do sinal).
Usando as cabeças totais em B e C (acima já calculadas), a máquina fornece a diferença entre a cabeça total em C e a cabeça total em B (desprezando perdas locais no próprio equipamento que não foram fornecidas). Cabeça total em B:
Cabeça total em C (já obtida):
Então a cabeça fornecida pela máquina é
Arredondando:
Interpretação do sinal:
significa que a máquina fornece energia ao fluido — isto é, é uma bomba.
Passo 7
Calcular a potência da bomba considerando o rendimento
— explicação da fórmula.
Potência hidráulica (energia por segundo entregue ao fluido) é
onde
é a densidade da água (usamos
),
,
em
e
em metros.
A potência elétrica/mecânica que a bomba consome considerando rendimento
é
Cálculo numérico:
Arredondando para apresentação prática:
Passo 8
Resumo numérico final (preparo para a resposta): todos os resultados já obtidos e arredondados de forma usual para a prova.
Resposta
Sentido do escoamento: de A para D (da esquerda para a direita).
.
Cota piezométrica em B: .
Cota piezométrica em C: .
Tipo de máquina: bomba.
Potência da máquina (consumida, considerando ):
.
Cota piezométrica em B:
Cota piezométrica em C:
Tipo de máquina: bomba.
Potência da máquina (consumida, considerando