(PORTO, 2006, pg. 52) Um ensaio de campo em uma adutora de 6 " de diâmetro, na qual a vazão era de 26,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, para determinar as condições de rugosidade da parede, foi feito medindo a pressão em dois pontos A e B, distanciados 1017 m , com uma diferença de cotas topográficas igual a 30 m , cota de A mais baixa que B. A pressão em A foi igual a 70 \mathrm{e}, \mathrm{em} \mathrm{B}, 21 metros. Determine a rugosidade média absoluta da adutora e desenhe as linhas de energia e piezométrica.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos (resumido, sem resolver ainda).
  • Perguntas do enunciado: determinar a rugosidade média absoluta da adutora e desenhar as linhas de energia e piezométrica entre os pontos A e B.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão: Q=26{,}5\\ \mathrm{L/s} (vou converter para \mathrm{m^3/s}).
    • Diâmetro da adutora: D=6 polegadas (vou converter para metros).
    • Distância entre A e B: L=1017\\ \mathrm{m}.
    • Diferença de cota topográfica: 30\\ \mathrm{m}, com a cota de A mais baixa que B (ou seja, z_B é 30\\ \mathrm{m} mais alto que z_A).
    • Pressão expressa em termos de carga (cota de pressão): em A p_A=70\\ \mathrm{m} (carga de pressão), em B p_B=21\\ \mathrm{m}.
  • Observação de como vou trabalhar: escolho datum tal que z_A=0 e então z_B=30\\ \mathrm{m}. Assim a carga piezométrica em cada ponto será H = p + z. A queda de carga entre A e B medida pelo ensaio será usada como perda por atrito ao longo de L.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área e a velocidade média do escoamento — passo a passo de fórmulas e significado.
  • Conversões:
    • Q=26{,}5\\ \mathrm{L/s}=0{,}0265\\ \mathrm{m^3/s}.
    • D=6\\ \text{polegadas}=6\times25{,}4\\ \mathrm{mm}=152{,}4\\ \mathrm{mm}=0{,}1524\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal (fórmula e explicação): a área de um círculo é \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}. Aqui A é a área em \mathrm{m^2}, D em \mathrm{m}. A=\frac{\pi (0{,}1524)^2}{4}\approx 0{,}018234\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média (fórmula e explicação): velocidade média em tubo é \displaystyle v=\frac{Q}{A}. Isso dá a velocidade que corresponde à vazão uniforme. v=\frac{0{,}0265}{0{,}018234}\approx 1{,}453\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e interpretar (explico o que é e por que é importante).
  • O número de Reynolds mede se o escoamento é laminar ou turbulento; é definido por \displaystyle Re=\frac{vD}{\nu}, onde \nu é a viscosidade cinemática do fluido ( \mathrm{m^2/s}). Para água a temperatura ambiente usamos \nu\approx 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Re=\frac{1{,}453\times 0{,}1524}{1{,}0\times10^{-6}}\approx 2{,}22\times10^{5}.
  • Interpretação: \displaystyle Re\approx 2{,}2\times10^{5} é bem maior que 4000, logo o escoamento é turbulento. Isso significa que o fator de atrito depende tanto da rugosidade relativa \varepsilon/D quanto do Re.

Passo 4

Determinar a perda de carga total (head loss) entre A e B usando as cargas medidas — explico o conceito de carga piezométrica.
  • Definição e cálculo da carga piezométrica: a carga piezométrica em um ponto é H_p = p + z, onde p é a altura equivalente de pressão (já dada em metros) e z é a cota do ponto.
  • Adotando z_A=0 e z_B=30\\ \mathrm{m}: H_{p,A}=p_A+z_A=70+0=70\\ \mathrm{m},
H_{p,B}=p_B+z_B=21+30=51\\ \mathrm{m}.
  • A diferença de carga piezométrica entre A e B é \Delta H_p = H_{p,A}-H_{p,B}=70-51=19\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: essa queda de 19\\ \mathrm{m} é a perda por atrito (assumimos que não há outras perdas importantes entre A e B). Portanto a perda por atrito ao longo de L é \displaystyle h_f=19\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Usar a equação de Darcy–Weisbach para calcular o fator de atrito f. Explico a fórmula e cada termo.
  • A equação de Darcy–Weisbach relaciona perda de carga por atrito h_f com o fator de atrito f: h_f = f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g},onde g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Isolando f: f = \frac{h_f\,2gD}{L\,v^2}.
  • Substituindo números (mostrando contas): v^2\approx (1{,}453)^2\approx 2{,}111\\ \mathrm{m^2/s^2},
f=\frac{19\times 2\times 9{,}81\times 0{,}1524}{1017\times 2{,}111}\approx 0{,}0265.
  • Interpretação: o fator de atrito médio encontrado é \displaystyle f\approx 0{,}0265.

Passo 6

Relação entre fator de atrito f e rugosidade absoluta \varepsilon. Apresento as equações possíveis e explico por que escolho uma forma explícita.
  • Relação exata implícita (Colebrook–White): \frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}\right).Essa equação é implícita em f; resolver diretamente exige iteração.
  • Fórmula explícita aproximada (Swamee–Jain) muito usada porque dá \varepsilon diretamente quando isolamos: f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^2}.Essa fórmula é adequada para escoamentos turbulentos e é prática para cálculo manual (mantém boa precisão para fins de engenharia).
  • Vou usar a forma de Swamee–Jain porque já temos f e Re e precisamos de \varepsilon sem muitas iterações manuais.

Passo 7

Isolar \varepsilon na fórmula de Swamee–Jain e calcular numericamente — mostro passo a passo como manipular a fórmula e fazer as contas com cuidado.
  • A fórmula: f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Isolando o logaritmo (atenção ao sinal): tomando raiz quadrada e invertendo: \log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right) = -\frac{0{,}5}{\sqrt{f}}.(escolhemos o sinal negativo porque a expressão dentro do log normalmente é <1 para tubulações práticas, e o quadrado perde o sinal).
  • Assim \frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}} = 10^{-\frac{0{,}5}{\sqrt{f}}}.
  • Calculando os termos numéricos: \sqrt{f}\approx \sqrt{0{,}0265}\approx 0{,}1627,
-\frac{0{,}5}{\sqrt{f}}\approx -\frac{0{,}5}{0{,}1627}\approx -3{,}073.
10^{-3{,}073}\approx 8{,}44\times10^{-4}.
  • Calcular Re^{0{,}9} (mostrando como): Re^{0{,}9} \approx (2{,}22\times10^{5})^{0{,}9}\approx 6{,}49\times10^{4},
\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{6{,}49\times10^{4}}\approx 8{,}84\times10^{-5}.
  • Agora isolar \varepsilon: \frac{\varepsilon}{3{,}7D} = 10^{-\frac{0{,}5}{\sqrt{f}}} - \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}} \approx 8{,}44\times10^{-4} - 8{,}84\times10^{-5}=7{,}55\times10^{-4}.
\varepsilon = 3{,}7 D \times 7{,}55\times10^{-4}.
  • Substituindo D=0{,}1524\\ \mathrm{m}: \varepsilon \approx 3{,}7\times 0{,}1524 \times 7{,}55\times10^{-4}\approx 4{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros para intuição: \varepsilon \approx 0{,}426\\ \mathrm{mm}.
  • Interpretação: a rugosidade média absoluta calculada com esses dados é \displaystyle \varepsilon\approx 4{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (aprox. 0{,}426\\ \mathrm{mm}). Esse valor é plausível para tubos rugosos (não é uma rugosidade de tubo perfeitamente liso).

Passo 8

Construir as linhas piezométrica e de energia (explico o que são, como desenhar e dou os valores numéricos a plotar).
  • Definições rápidas:
    • Linha piezométrica: traça H_p=p+z ao longo da tubulação.
    • Linha de energia: traça a carga total E = p+z+\dfrac{v^2}{2g}=H_p+\dfrac{v^2}{2g}. A diferença entre linha de energia e piezométrica é a carga cinética \dfrac{v^2}{2g}.
  • Calcular a carga cinética (velocidade fixa em toda a tubulação): \frac{v^2}{2g}=\frac{2{,}111}{2\times 9{,}81}\approx 0{,}1076\\ \mathrm{m}.
  • Já tínhamos: H_{p,A}=70\\ \mathrm{m},\qquad H_{p,B}=51\\ \mathrm{m}.Então as energias totais: E_A = H_{p,A}+\frac{v^2}{2g}\approx 70+0{,}1076=70{,}108\\ \mathrm{m},
E_B = H_{p,B}+\frac{v^2}{2g}\approx 51+0{,}1076=51{,}108\\ \mathrm{m}.
  • Como desenhar (instrução prática para a prova):
    • No eixo horizontal marque o comprimento de 0 a 1017\\ \mathrm{m} (A em x=0, B em x=1017\\ \mathrm{m}).
    • No eixo vertical marque a carga em metros.
    • Desenhe a linha piezométrica como um segmento de reta ligando (0,\;70) a (1017,\;51). É uma reta porque estamos assumindo perda uniforme por atrito.
    • Desenhe a linha de energia como uma reta paralela à piezométrica, mas deslocada para cima em \dfrac{v^2}{2g}\approx 0{,}108\\ \mathrm{m}. Ligue (0,\;70{,}108) a (1017,\;51{,}108).
    • O declive (slope) das linhas é \dfrac{19}{1017}\approx 0{,}0187\\ \mathrm{m/m} (ou 1{,}87\%).
  • Observação: o pequeno espaçamento entre as linhas (apenas \approx 0{,}108\\ \mathrm{m}) indica que a energia cinética é pequena em comparação com as cargas de pressão e elevação.

Passo 9

Resumo e ânimo final (curto): recapitulo o resultado principal e dou uma palavra de encorajamento.
  • Resultado principal: a rugosidade média absoluta calculada para a adutora é de ordem de décimos de milímetro ( \sim 0{,}4\\ \mathrm{mm}); as linhas piezométrica e de energia são retas decrescentes de A para B, separadas por \approx 0{,}108\\ \mathrm{m}.
  • Dica moral: você já tem a sequência padrão para este tipo de ensaio — converter unidades, calcular v, calcular Re, obter h_f pelas cargas medidas, usar Darcy–Weisbach para achar f e então a relação Colebrook/Swamee–Jain para achar \varepsilon. Com prática esse roteiro vira automático — você consegue na prova!

Resposta

\displaystyle \varepsilon \approx 4{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\\ (\approx 0{,}426\\ \mathrm{mm})
Linha piezométrica: reta ligando H_{p,A}=70\\ \mathrm{m} em A a H_{p,B}=51\\ \mathrm{m} em B; linha de energia: reta paralela 0{,}1076\\ \mathrm{m} acima ( E_A\approx70{,}108\\ \mathrm{m},\\ E_B\approx51{,}108\\ \mathrm{m} ), com declive 19/1017\\ \mathrm{m/m}.

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