Um tanque de
de diâmetro é enchido com água e depois girado a uma taxa de
. Nas paredes do tanque, a viscosidade impede o movimento relativo entre o fluido e a parede. Determine a velocidade e a aceleração das partículas de fluido próximas às paredes do tanque em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá um tanque de diâmetro
que é girado em torno do seu eixo com velocidade angular dependente do tempo
Também é dito que, nas paredes do tanque, a viscosidade impede movimento relativo entre o fluido e a parede (condição de no‑slip). A pergunta é: determinar a velocidade e a aceleração das partículas de fluido próximas às paredes do tanque em função do tempo. Informações relevantes listadas:
- Diâmetro do tanque:
⇒ raio . - Velocidade angular:
. - Condição de no‑slip na parede: a velocidade tangencial do fluido junto à parede é igual à velocidade tangencial da parede.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas
com origem no eixo do cilindro; as direções unitárias são
(radial),
(tangencial) e
(axial). Por simetria e pelo enunciado, as partículas próximas à parede descrevem movimento circular em torno do eixo, com raio aproximadamente
, sem componente radial ou axial (ou seja,
e
). A condição de no‑slip implica que a velocidade tangencial do fluido junto à parede é
Vou explicar por que: a parede gira com velocidade angular
; um ponto da parede a distância
do eixo tem velocidade tangencial
. Como o fluido adere à parede, a partícula de fluido tocando a parede tem exatamente essa velocidade tangencial.
Passo 3
Agora escrevemos a velocidade de uma partícula na parede em forma vetorial. Em coordenadas cilíndricas, quando
é constante igual a
e só há movimento angular,
Substituindo
e
temos a expressão numérica simplificada da velocidade tangencial (em módulo e na direção
):
Passo 4
Para calcular a aceleração usamos a fórmula geral da aceleração em coordenadas polares/cilíndricas para uma partícula com
e
:
Aqui cada termo tem interpretação física:
-
é a aceleração radial “de variaçao de raio” (não é nosso caso, pois é constante). -
é a aceleração centrípeta (aponta para o centro). -
é a aceleração tangencial associada à variação da velocidade angular (quando muda com o tempo). -
aparece quando varia (efeito tipo Coriolis); aqui . -
é aceleração axial (aqui nula).
No nosso caso
é constante, então
e
. Assim a aceleração reduz para
Observação:
e
.
Passo 5
Calculamos a derivada da velocidade angular para obter a aceleração angular. Como
fazendo a derivada em relação a
(regra da cadeia) obtemos
Agora aplicamos na expressão da aceleração com
:
- componente radial (centrípeta):
Desenvolvendo e simplificando:
- componente tangencial:
Portanto a aceleração vetorial é
Passo 6
Para dar intuição rápida (útil na prova): no instante
temos
(o fluido ainda não girou), então a velocidade tangencial inicial é zero; porém
é máxima, dando uma aceleração tangencial inicial
que começa a acelerar o fluido. Quando
temos
e
, logo a aceleração tangencial tende a zero e sobra apenas a aceleração centrípeta constante
correspondente ao giro uniforme final.