A velocidade V com que uma onda transversal se propaga num fio de massa específica linear
, (
), submetido por uma força tensora F , depende apenas de
e de F . Determine a equação física que nos dá essa dependência.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação física que dá a dependência da velocidade
de uma onda transversal num fio em função apenas da massa específica linear
e da força tensora
. Informações dadas e relevantes:
- A velocidade buscada é
. - A dependência deve envolver apenas
e . - As unidades/dimensões fornecidas:
tem dimensão (massa por comprimento) e tem dimensão de força . - O enunciado já sugere uma forma genérica
; precisamos justificar essa forma e determinar o valor de (se possível).
Passo 2
Vamos usar análise dimensional para obter a forma funcional. Primeiro, escrevo as dimensões de cada grandeza (explicando o que significam):
- A velocidade
tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja . Isso significa que mede quantos comprimentos são percorridos por unidade de tempo. - A força
tem dimensão (massa vezes aceleração). - A massa específica linear
tem dimensão (massa por unidade de comprimento).
A ideia da análise dimensional: sedepende só de e , podemos supor uma lei de potência
onde
e
são expoentes reais a determinar impondo consistência dimensional. Aqui
será um fator adimensional que aparece multiplicando essa potência.
Passo 3
Agora aplico a imposição de igualdade de dimensões. Escrevo as dimensões do lado direito:
Queremos que isso tenha as mesmas dimensões de
, ou seja
. Igualando expoentes para cada dimensão:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 4
Resolvo o sistema das equações acima:
Da equação temporal segue
.
Da equação para temos
.
Verifico a equação para :
, que confirma a consistência. Portanto os expoentes são
Da equação temporal
Da equação para
Verifico a equação para
Isso nos dá a forma
onde
é uma constante adimensional. A análise dimensional entregou exatamente a forma proposta no enunciado, mas não determina o valor numérico de
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
precisamos de uma derivação física completa (as equações de movimento), não só dimensional. Vou derivar a forma exata usando as leis de Newton para pequenas oscilações numa corda esticada (passo padrão em laboratório/prova).
Considere um pedaço da corda de comprimento em torno de
. A tensão ao longo da corda é
(mesmo valor, assumimos tensão uniforme). Seja
o deslocamento transversal pequeno. Nas extremidades do pedaço há forças verticais aproximadas por
em cada lado. Para pequenos ângulos
vale a aproximação de pequena inclinação:
Considere um pedaço da corda de comprimento
Então a componente vertical da tensão em
é aproximadamente
e em
é
. A resultante vertical sobre o elemento é
A massa do elemento é
. Pela segunda lei de Newton, massa vezes aceleração vertical vale a força resultante:
Cancelando
(que é arbitrário) obtemos a equação de onda para a corda:
A equação de onda clássica tem a forma
, onde
é a velocidade de propagação. Comparando, vemos que
Portanto
. Aqui não apareceu nenhum fator extra; o coeficiente é exatamente
.
Passo 6
Conclusão física e interpretação: a análise dimensional mostrou que a dependência deve ser da forma
com
adimensional. A derivação dinâmica (equação de onda para pequenas oscilações de uma corda esticada) dá o valor
. Em palavras: quanto maior a tensão
, maior a velocidade; quanto maior a massa por comprimento
, menor a velocidade; e a relação é exatamente a raiz quadrada da razão entre
e
.