A velocidade V com que uma onda transversal se propaga num fio de massa específica linear \mu, ( \mathrm{ML}^{-1} ), submetido por uma força tensora F , depende apenas de \mu e de F . Determine a equação física que nos dá essa dependência.
v=k \sqrt{\frac{F}{\mu}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação física que dá a dependência da velocidade v de uma onda transversal num fio em função apenas da massa específica linear \mu e da força tensora F. Informações dadas e relevantes:
  • A velocidade buscada é v.
  • A dependência deve envolver apenas \mu e F.
  • As unidades/dimensões fornecidas: \mu tem dimensão \mathrm{ML^{-1}} (massa por comprimento) e F tem dimensão de força \mathrm{MLT^{-2}}.
  • O enunciado já sugere uma forma genérica v=k\sqrt{F/\mu}; precisamos justificar essa forma e determinar o valor de k (se possível).

Passo 2

Vamos usar análise dimensional para obter a forma funcional. Primeiro, escrevo as dimensões de cada grandeza (explicando o que significam):
  • A velocidade v tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja \,[v]=\mathrm{LT^{-1}}. Isso significa que v mede quantos comprimentos são percorridos por unidade de tempo.
  • A força F tem dimensão \,[F]=\mathrm{MLT^{-2}} (massa vezes aceleração).
  • A massa específica linear \mu tem dimensão \,[\mu]=\mathrm{ML^{-1}} (massa por unidade de comprimento).
    A ideia da análise dimensional: se v depende só de F e \mu, podemos supor uma lei de potência
v \propto F^{a}\,\mu^{b}
onde a e b são expoentes reais a determinar impondo consistência dimensional. Aqui k será um fator adimensional que aparece multiplicando essa potência.

Passo 3

Agora aplico a imposição de igualdade de dimensões. Escrevo as dimensões do lado direito:
[F^{a}\mu^{b}] = (\mathrm{MLT^{-2}})^{a}(\mathrm{ML^{-1}})^{b} = \mathrm{M^{\,a+b}L^{\,a-b}T^{-2a}}.
Queremos que isso tenha as mesmas dimensões de v, ou seja \mathrm{LT^{-1}}. Igualando expoentes para cada dimensão:
  • Para \mathrm{M}: 0 = a + b.
  • Para \mathrm{L}: 1 = a - b.
  • Para \mathrm{T}: -1 = -2a.

Passo 4

Resolvo o sistema das equações acima:
Da equação temporal -1 = -2a segue a=\tfrac{1}{2}.
Da equação para \mathrm{M} temos b=-a=-\tfrac{1}{2}.
Verifico a equação para \mathrm{L}: a-b = \tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2}) = 1, que confirma a consistência. Portanto os expoentes são
a=\tfrac{1}{2},\qquad b=-\tfrac{1}{2}.
Isso nos dá a forma
v = k\,F^{1/2}\mu^{-1/2} = k\sqrt{\frac{F}{\mu}},
onde k é uma constante adimensional. A análise dimensional entregou exatamente a forma proposta no enunciado, mas não determina o valor numérico de k.

Passo 5

Para encontrar o valor de k precisamos de uma derivação física completa (as equações de movimento), não só dimensional. Vou derivar a forma exata usando as leis de Newton para pequenas oscilações numa corda esticada (passo padrão em laboratório/prova).
Considere um pedaço da corda de comprimento \Delta x em torno de x. A tensão ao longo da corda é F (mesmo valor, assumimos tensão uniforme). Seja y(x,t) o deslocamento transversal pequeno. Nas extremidades do pedaço há forças verticais aproximadas por F\sin\theta em cada lado. Para pequenos ângulos \theta vale a aproximação de pequena inclinação:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{\partial y}{\partial x}.
Então a componente vertical da tensão em x é aproximadamente F\frac{\partial y}{\partial x}(x,t) e em x+\Delta x é F\frac{\partial y}{\partial x}(x+\Delta x,t). A resultante vertical sobre o elemento é
F\left[\frac{\partial y}{\partial x}(x+\Delta x,t)-\frac{\partial y}{\partial x}(x,t)\right]\approx F\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}(x,t)\,\Delta x.
A massa do elemento é \mu\,\Delta x. Pela segunda lei de Newton, massa vezes aceleração vertical vale a força resultante:
\mu\,\Delta x\;\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}(x,t)=F\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}(x,t)\,\Delta x.
Cancelando \Delta x (que é arbitrário) obtemos a equação de onda para a corda:
\mu\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = F\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}.
A equação de onda clássica tem a forma \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}, onde c é a velocidade de propagação. Comparando, vemos que
c^{2}=\frac{F}{\mu}.
Portanto c=\sqrt{F/\mu}. Aqui não apareceu nenhum fator extra; o coeficiente é exatamente 1.

Passo 6

Conclusão física e interpretação: a análise dimensional mostrou que a dependência deve ser da forma v=k\sqrt{F/\mu} com k adimensional. A derivação dinâmica (equação de onda para pequenas oscilações de uma corda esticada) dá o valor k=1. Em palavras: quanto maior a tensão F, maior a velocidade; quanto maior a massa por comprimento \mu, menor a velocidade; e a relação é exatamente a raiz quadrada da razão entre F e \mu.

Resposta

v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}

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