1. A posição angular de um ponto de uma roda é dada por \theta= 2,0+4,0 t^{2}+2,0 t^{3}, em que \theta está em radianos e t em segundos. Em \mathrm{t}=0, qual é (a) a posição e (b) qual a velocidade angular do ponto? (c) Qual é a velocidade angular em \mathrm{t}=4,0 \mathrm{~s} ? (d) Calcule a aceleração angular em \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}. (e) A aceleração angular da roda é constante?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a posição angular da roda, em função do tempo:
\theta(t)=2,0+4,0\,t^{2}+2,0\,t^{3},
onde \theta está em radianos e t em segundos. As perguntas são, em t=0:
(a) qual é a posição \theta?
(b) qual é a velocidade angular \omega do ponto?
(c) qual é a velocidade angular em t=4,0\\ \text{s}?
(d) calcule a aceleração angular em t=2,0\\ \text{s}.
(e) a aceleração angular é constante?

Passo 2

Explicação rápida dos conceitos que vamos usar (passo didático, sem pular etapas).
  • A posição angular é \theta(t) em rad.
  • A velocidade angular \omega(t) é a taxa de variação de \theta com o tempo, isto é, a derivada de \theta(t):
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
  • A aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo, isto é, a derivada de \omega(t) (ou segunda derivada de \theta):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
Também vou usar a regra de derivação para potências (regra do poder): se f(t)=a\,t^{n} com a constante e n inteiro, então
\frac{df}{dt}=a\,n\,t^{n-1}.
Isso é tudo o que precisamos.

Passo 3

Calcular a posição angular em t=0. Basta substituir t=0 em \theta(t). Primeiro escrevo a função:
\theta(t)=2,0+4,0\,t^{2}+2,0\,t^{3}.
Agora substituo t=0:
\theta(0)=2,0+4,0\cdot 0^{2}+2,0\cdot 0^{3}.
Como 0^{2}=0 e 0^{3}=0, sobra apenas a constante:
\theta(0)=2,0\\ \text{rad}.
Interpretação: a roda já começa com deslocamento angular de 2,0 rad.

Passo 4

Achar uma expressão geral para a velocidade angular \omega(t) aplicando a derivada a \theta(t). Usando a regra do poder em cada termo:
  • Derivada de 2,0 (constante) é 0.
  • Derivada de 4,0\,t^{2} é 4,0\cdot 2\,t^{1}=8,0\,t.
  • Derivada de 2,0\,t^{3} é 2,0\cdot 3\,t^{2}=6,0\,t^{2}.
Portanto:
\omega(t)=8,0\,t+6,0\,t^{2}.

Passo 5

Calcular a velocidade angular em t=0 (parte (b)). Substituo t=0 na expressão de \omega(t):
\omega(0)=8,0\cdot 0+6,0\cdot 0^{2}=0+0=0.
Logo a velocidade angular inicial é
\omega(0)=0\\ \text{rad/s}.
Interpretação: apesar de a roda ter posição inicial diferente de zero, ela está instantaneamente sem rotação em t=0.

Passo 6

Calcular a velocidade angular em t=4,0\\ \text{s} (parte (c)). Uso a expressão encontrada:
\omega(t)=8,0\,t+6,0\,t^{2}.
Substituo t=4,0:
\omega(4,0)=8,0\cdot 4,0 + 6,0\cdot (4,0)^{2}.
Faço as contas passo a passo:
8,0\cdot 4,0=32,\qquad (4,0)^{2}=16,\qquad 6,0\cdot 16=96.
Somando:
\omega(4,0)=32+96=128\\ \text{rad/s}.

Passo 7

Achar a aceleração angular \alpha(t) como derivada de \omega(t) (ou segunda derivada de \theta). Temos
\omega(t)=8,0\,t+6,0\,t^{2}.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de 8,0\,t é 8,0.
  • Derivada de 6,0\,t^{2} é 6,0\cdot 2\,t=12,0\,t.
Portanto:
\alpha(t)=8,0+12,0\,t.

Passo 8

Calcular a aceleração angular em t=2,0\\ \text{s} (parte (d)). Substituo t=2,0 em \alpha(t):
\alpha(2,0)=8,0+12,0\cdot 2,0.
Faço a conta:
12,0\cdot 2,0=24,\qquad \alpha(2,0)=8,0+24=32\\ \text{rad/s}^{2}.

Passo 9

Responder se a aceleração angular é constante (parte (e)). A expressão geral que encontramos para \alpha(t) é
\alpha(t)=8,0+12,0\,t,
que depende explicitamente de t (é uma função linear de t). Como varia com o tempo, a aceleração angular NÃO é constante. Se fosse constante, \alpha(t) seria um número sem dependência de t.

Resposta

(a) \theta(0)=2,0\\ \text{rad}
(b) \omega(0)=0\\ \text{rad/s}
(c) \omega(4,0)=128\\ \text{rad/s}
(d) \alpha(2,0)=32\\ \text{rad/s}^{2}
(e) Não, a aceleração angular não é constante ( \alpha(t)=8,0+12,0\,t).

Exercícios relacionados