- A posição angular de um ponto de uma roda é dada por
, em que
está em radianos e t em segundos. Em
, qual é (a) a posição e (b) qual a velocidade angular do ponto? (c) Qual é a velocidade angular em
? (d) Calcule a aceleração angular em
. (e) A aceleração angular da roda é constante?
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a posição angular da roda, em função do tempo:
onde
está em radianos e
em segundos. As perguntas são, em
:
(a) qual é a posição ?
(b) qual é a velocidade angular do ponto?
(c) qual é a velocidade angular em ?
(d) calcule a aceleração angular em .
(e) a aceleração angular é constante?
(a) qual é a posição
(b) qual é a velocidade angular
(c) qual é a velocidade angular em
(d) calcule a aceleração angular em
(e) a aceleração angular é constante?
Passo 2
Explicação rápida dos conceitos que vamos usar (passo didático, sem pular etapas).
- A posição angular é
em rad. - A velocidade angular
é a taxa de variação de com o tempo, isto é, a derivada de :
- A aceleração angular
é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo, isto é, a derivada de (ou segunda derivada de ):
Também vou usar a regra de derivação para potências (regra do poder): se
com
constante e
inteiro, então
Isso é tudo o que precisamos.
Passo 3
Calcular a posição angular em
. Basta substituir
em
. Primeiro escrevo a função:
Agora substituo
:
Como
e
, sobra apenas a constante:
Interpretação: a roda já começa com deslocamento angular de
rad.
Passo 4
Achar uma expressão geral para a velocidade angular
aplicando a derivada a
. Usando a regra do poder em cada termo:
- Derivada de
(constante) é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 5
Calcular a velocidade angular em
(parte (b)). Substituo
na expressão de
:
Logo a velocidade angular inicial é
Interpretação: apesar de a roda ter posição inicial diferente de zero, ela está instantaneamente sem rotação em
.
Passo 6
Calcular a velocidade angular em
(parte (c)). Uso a expressão encontrada:
Substituo
:
Faço as contas passo a passo:
Somando:
Passo 7
Achar a aceleração angular
como derivada de
(ou segunda derivada de
). Temos
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 8
Calcular a aceleração angular em
(parte (d)). Substituo
em
:
Faço a conta:
Passo 9
Responder se a aceleração angular é constante (parte (e)). A expressão geral que encontramos para
é
que depende explicitamente de
(é uma função linear de
). Como varia com o tempo, a aceleração angular NÃO é constante. Se fosse constante,
seria um número sem dependência de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não, a aceleração angular não é constante ( ).
(b)
(c)
(d)
(e) Não, a aceleração angular não é constante (