Dois cilindros homogêneos, girando em torno dos respectivos eixos centrais (longitudinais) com uma velocidade angular de
, têm a mesma massa de
e raios diferentes. Qual é a energia cinética de rotação (a) do cilindro menor, de raio
, e (b) do cilindro maior, de raio
?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dois cilindros homogêneos giram em torno dos eixos longitudinais com velocidade angular
. - Ambos têm massa
. - Raios: (a) cilindro menor
; (b) cilindro maior .
O enunciado pede a energia cinética de rotação de cada cilindro: - (a)
para . - (b)
para .
Passo 2
Fórmula da energia cinética de rotação e o que significam as letras:
A energia cinética de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular é
A energia cinética de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular
onde:
-
é a energia cinética rotacional (em joules), -
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (em ), -
é a velocidade angular (em ).
Portanto, para calcularprecisamos do valor de para cada cilindro.
Passo 3
Momento de inércia de um cilindro sólido homogêneo em relação ao eixo central:
Para um cilindro sólido e homogêneo (eixo longitudinal), o momento de inércia é
Para um cilindro sólido e homogêneo (eixo longitudinal), o momento de inércia é
onde
é a massa do cilindro e
seu raio. Explicando por que: imagine dividir o disco transversal em anéis finos de raio
e espessura
. A massa de um anel é
, onde
é a massa por área da seção (
). O contributo de momento de inércia do anel é
. Integrando de
a
obtém-se
Essa é a razão do fator
no momento de inércia do cilindro.
Passo 4
Expressão final que vamos usar:
Substituindo em
temos
Substituindo
Aqui:
,
e
é o raio do respectivo cilindro.
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Cálculo detalhado para o cilindro menor (
):
- Calcule
:
- Use a fórmula
:
- Para manipular sem calculadora, escreva em frações:
e . Então
- Multiplicando:
. Dividindo por :
Arredondando para duas casas decimais (útil em provas):
Passo 7
Cálculo detalhado para o cilindro maior (
):
- Calcule
:
- Use a fórmula:
- Em frações:
, então
- Multiplicando:
. Dividindo por :
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta
(a)
(b)
(b)