Dois cilindros homogêneos, girando em torno dos respectivos eixos centrais (longitudinais) com uma velocidade angular de 235 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, têm a mesma massa de 1,25 \mathrm{~kg} e raios diferentes. Qual é a energia cinética de rotação (a) do cilindro menor, de raio 0,25 \mathrm{~m}, e (b) do cilindro maior, de raio 0,75 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dois cilindros homogêneos giram em torno dos eixos longitudinais com velocidade angular \omega = 235\\ \mathrm{rad/s}.
  • Ambos têm massa m = 1{,}25\\ \mathrm{kg}.
  • Raios: (a) cilindro menor r_1 = 0{,}25\\ \mathrm{m}; (b) cilindro maior r_2 = 0{,}75\\ \mathrm{m}.
    O enunciado pede a energia cinética de rotação de cada cilindro:
  • (a) K_1 para r_1.
  • (b) K_2 para r_2.

Passo 2

Fórmula da energia cinética de rotação e o que significam as letras:
A energia cinética de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega é
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde:
  • K é a energia cinética rotacional (em joules),
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (em \mathrm{kg\cdot m^{2}}),
  • \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
    Portanto, para calcular K precisamos do valor de I para cada cilindro.

Passo 3

Momento de inércia de um cilindro sólido homogêneo em relação ao eixo central:
Para um cilindro sólido e homogêneo (eixo longitudinal), o momento de inércia é
I=\tfrac{1}{2} m r^{2},
onde m é a massa do cilindro e r seu raio. Explicando por que: imagine dividir o disco transversal em anéis finos de raio r' e espessura dr'. A massa de um anel é dm=\sigma\cdot 2\pi r'\,dr', onde \sigma é a massa por área da seção ( \sigma=\dfrac{m}{\pi r^{2}}). O contributo de momento de inércia do anel é dI=r'^{2}\,dm. Integrando de 0 a r obtém-se
I=\int_{0}^{r} r'^{2}\,dm =\int_{0}^{r} r'^{2}\,\sigma 2\pi r'\,dr' =2\pi\sigma\int_{0}^{r} r'^{3}\,dr' =\frac{\pi\sigma r^{4}}{2} =\frac{m r^{2}}{2}.
Essa é a razão do fator \tfrac{1}{2} no momento de inércia do cilindro.

Passo 4

Expressão final que vamos usar:
Substituindo I=\tfrac{1}{2}mr^{2} em K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2} temos
K=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}mr^{2}\right)\omega^{2}=\tfrac{1}{4} m r^{2}\omega^{2}.
Aqui: m=1{,}25\\ \mathrm{kg}, \omega=235\\ \mathrm{rad/s} e r é o raio do respectivo cilindro.

Passo 5

Calcular \omega^{2}:
\omega^{2} = (235)^{2} = 55225\\ \mathrm{(rad^{2}/s^{2})}.

Passo 6

Cálculo detalhado para o cilindro menor ( r_{1}=0{,}25\\ \mathrm{m}):
  • Calcule r_{1}^{2}:
r_{1}^{2}=(0{,}25)^{2}=0{,}0625.
  • Use a fórmula K=\tfrac{1}{4} m r^{2}\omega^{2}:
K_{1}=\tfrac{1}{4}\cdot 1{,}25\cdot 0{,}0625\cdot 55225.
  • Para manipular sem calculadora, escreva em frações: 1{,}25=\tfrac{5}{4} e 0{,}0625=\tfrac{1}{16}. Então
K_{1}=\tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{5}{4}\cdot \tfrac{1}{16}\cdot 55225 =\frac{5}{256}\cdot 55225.
  • Multiplicando: 5\cdot 55225=276125. Dividindo por 256:
K_{1}=\frac{276125}{256}=1078{,}61328125\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas decimais (útil em provas):
K_{1}\approx 1078{,}61\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Cálculo detalhado para o cilindro maior ( r_{2}=0{,}75\\ \mathrm{m}):
  • Calcule r_{2}^{2}:
r_{2}^{2}=(0{,}75)^{2}=0{,}5625.
  • Use a fórmula:
K_{2}=\tfrac{1}{4}\cdot 1{,}25\cdot 0{,}5625\cdot 55225.
  • Em frações: 0{,}5625=\tfrac{9}{16}, então
K_{2}=\tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{5}{4}\cdot \tfrac{9}{16}\cdot 55225 =\frac{45}{256}\cdot 55225.
  • Multiplicando: 45\cdot 55225=2485125. Dividindo por 256:
K_{2}=\frac{2485125}{256}=9707{,}51953125\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas decimais:
K_{2}\approx 9707{,}52\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) K_{1}=1078{,}61\\ \mathrm{J}
(b) K_{2}=9707{,}52\\ \mathrm{J}

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