A posição angular de um ponto de uma roda é dada por
, onde
está em radianos e
em segundos. Em
qual é (a) a posição e (b) a velocidade angular do ponto? (c) Qual é a velocidade angular em
? (d) Calcule a aceleração angular em
. (e) A aceleração angular da roda é constante?
Passo 1
O enunciado dá a posição angular
em função do tempo e pede várias coisas em instantes específicos. Dados e perguntas que extraí do enunciado:
- Dado:
, onde está em radianos e em segundos. - Perguntas:
(a) Qual é a posição em?
(b) Qual é a velocidade angular em?
(c) Qual é a velocidade angular em?
(d) Calcule a aceleração angular em.
(e) A aceleração angular da roda é constante?
Passo 2
O que é velocidade angular e como calculá-la aqui:
- A velocidade angular
é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de em relação a :
- Regra que vamos usar (regra do poder): para
tem-se .
Agora calculo explicitamentepara a função dada:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Calcular a posição em
:
- Basta substituir
em .
Interpretação: a posição angular instantânea no instante
é
radianos.
Passo 4
Calcular a velocidade angular em
:
- Usar
e substituir .
Interpretação: a velocidade angular instantânea em
é nula (
) — o ponto está momentaneamente sem rotação.
Passo 5
Calcular a velocidade angular em
:
- Substituir
em .
- Calcule passo a passo:
Somando:
Resultado:
.
Passo 6
O que é aceleração angular e como calculá-la:
- A aceleração angular
é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo, isto é a segunda derivada de :
- Derivando
termo a termo:
Passo 7
Calcular a aceleração angular em
:
- Substituir
em .
Resultado:
.
Passo 8
Responder se a aceleração angular é constante:
- Observando
, nota-se que depende de (termo varia com o tempo). - Conclusão: a aceleração angular NÃO é constante; ela cresce linearmente com o tempo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não; , portanto depende de
(não é constante).
(b)
(c)
(d)
(e) Não;