A posição angular de um ponto de uma roda é dada por \theta(t)=2+4 t^{2}+2 t^{3}, onde \theta está em radianos e t em segundos. Em t=0 qual é (a) a posição e (b) a velocidade angular do ponto? (c) Qual é a velocidade angular em t=4 s ? (d) Calcule a aceleração angular em t=0 s. (e) A aceleração angular da roda é constante?

Passo 1

O enunciado dá a posição angular \theta(t) em função do tempo e pede várias coisas em instantes específicos. Dados e perguntas que extraí do enunciado:
  • Dado: \theta(t)=2+4 t^{2}+2 t^{3}, onde \theta está em radianos e t em segundos.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a posição em t=0?
    (b) Qual é a velocidade angular em t=0?
    (c) Qual é a velocidade angular em t=4\\ \text{s}?
    (d) Calcule a aceleração angular em t=0.
    (e) A aceleração angular da roda é constante?

Passo 2

O que é velocidade angular e como calculá-la aqui:
  • A velocidade angular \omega(t) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de \theta(t) em relação a t:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
  • Regra que vamos usar (regra do poder): para t^{n} tem-se \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.
    Agora calculo explicitamente \omega(t) para a função dada:
\theta(t)=2+4 t^{2}+2 t^{3}.
Derivando termo a termo:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=0 + 8t + 6t^{2}=8t+6t^{2}.

Passo 3

Calcular a posição em t=0:
  • Basta substituir t=0 em \theta(t).
\theta(0)=2+4\cdot 0^{2}+2\cdot 0^{3}=2.
Interpretação: a posição angular instantânea no instante t=0 é \,2 radianos.

Passo 4

Calcular a velocidade angular em t=0:
  • Usar \omega(t)=8t+6t^{2} e substituir t=0.
\omega(0)=8\cdot 0 + 6\cdot 0^{2}=0.
Interpretação: a velocidade angular instantânea em t=0 é nula ( 0\\ \text{rad/s}) — o ponto está momentaneamente sem rotação.

Passo 5

Calcular a velocidade angular em t=4\\ \text{s}:
  • Substituir t=4 em \omega(t)=8t+6t^{2}.
\omega(4)=8\cdot 4 + 6\cdot 4^{2}.
  • Calcule passo a passo:
8\cdot 4 = 32,\qquad 4^{2}=16,\qquad 6\cdot 16 = 96.
Somando:
\omega(4)=32+96=128.
Resultado: \omega(4)=128\\ \text{rad/s}.

Passo 6

O que é aceleração angular e como calculá-la:
  • A aceleração angular \alpha(t) é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo, isto é a segunda derivada de \theta:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
  • Derivando \omega(t)=8t+6t^{2} termo a termo:
\alpha(t)=8 + 12 t.

Passo 7

Calcular a aceleração angular em t=0:
  • Substituir t=0 em \alpha(t)=8+12t.
\alpha(0)=8+12\cdot 0=8.
Resultado: \alpha(0)=8\\ \text{rad/s}^{2}.

Passo 8

Responder se a aceleração angular é constante:
  • Observando \alpha(t)=8+12t, nota-se que \alpha depende de t (termo 12t varia com o tempo).
  • Conclusão: a aceleração angular NÃO é constante; ela cresce linearmente com o tempo.

Resposta

(a) \theta(0)=2\\ \text{rad}
(b) \omega(0)=0\\ \text{rad/s}
(c) \omega(4)=128\\ \text{rad/s}
(d) \alpha(0)=8\\ \text{rad/s}^{2}
(e) Não; \alpha(t)=8+12t, portanto depende de t (não é constante).

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