1. Uma partícula de massa \mathrm{m}_{1}=2 \mathrm{~kg} com velocidade 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} colide elasticamente com outra de massa \mathrm{m}_{2}=4 \mathrm{~kg} inicialmente parada.
    a) Determine as velocidades finais de ambas.
    b) Calcule a razão entre energias cinéticas antes e depois da colisão.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (valores pegos do enunciado):
  • Massa da partícula 1: m_1 = 2\\ \text{kg}.
  • Velocidade inicial da partícula 1: v_{1i} = 8\\ \text{m/s}.
  • Massa da partícula 2: m_2 = 4\\ \text{kg}.
  • Velocidade inicial da partícula 2: v_{2i} = 0\\ \text{m/s} (parada).
    O enunciado pede:
    a) Determinar as velocidades finais v_{1f} e v_{2f} após uma colisão elástica unidimensional.
    b) Calcular a razão entre as energias cinéticas antes e depois da colisão (ou seja, K_{\text{antes}}/K_{\text{depois}}).

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicação didática):
  • Conservação da quantidade de movimento (momento linear) para o sistema isolado em 1D: a soma dos momentos antes é igual à soma depois. A fórmula é
m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}.
Aqui m_1,m_2 são as massas e v_{1i},v_{2i},v_{1f},v_{2f} são as velocidades antes e depois (positivas na direção escolhida).
  • Colisão elástica: além da quantidade de movimento, a energia cinética total também se conserva. A fórmula é
\tfrac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_{2i}^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_{2f}^2.
Essas duas equações determinam v_{1f} e v_{2f}. Há um truque muito útil para colisões elásticas 1D: a velocidade relativa muda de sinal, isto é,
v_{1i}-v_{2i} = -(v_{1f}-v_{2f}).
Vou mostrar rapidamente de onde vem essa relação (é uma dedução curta a partir das duas equações acima), porque ela facilita muito a resolução.

Passo 3

Demonstração do fato da inversão da velocidade relativa (passo a passo, bem didático):
  1. Escreve a conservação do momento em forma rearranjada:
m_1(v_{1i}-v_{1f}) = m_2(v_{2f}-v_{2i}).
  1. Multiplica a conservação de energia por 2 e rearranja as diferenças de quadrados:
m_1(v_{1i}^2 - v_{1f}^2) + m_2(v_{2i}^2 - v_{2f}^2)=0.
Isto pode ser fatorado usando a^2-b^2=(a-b)(a+b):
m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f}) + m_2(v_{2i}-v_{2f})(v_{2i}+v_{2f})=0.
  1. Reescrevendo o segundo termo trocando o sinal:
m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f}) = m_2(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i}).
  1. Pela equação do momento (item 1) temos m_2(v_{2f}-v_{2i}) = m_1(v_{1i}-v_{1f}). Substituindo na equação acima e cancelando o fator comum m_1(v_{1i}-v_{1f}) (o caso degenerado em que esse fator é zero corresponde a uma colisão sem troca de velocidade, não aqui), obtemos
v_{1i}+v_{1f} = v_{2f}+v_{2i}.
  1. Reorganizando:
v_{1i}-v_{2i} = -(v_{1f}-v_{2f}).
Pronto — a velocidade relativa troca de sinal.

Passo 4

Resolver o sistema linear usando as duas relações simples:
  • Conservação do momento:
m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}.
  • Inversão da velocidade relativa:
v_{1f} - v_{2f} = -(v_{1i}-v_{2i}).
Chamo P = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} (quantidade de movimento total conhecida) e \Delta = -(v_{1i}-v_{2i}) = v_{2i}-v_{1i} (valor conhecido). A partir de v_{1f} = v_{2f} + \Delta e substituindo no momento:
m_1 (v_{2f} + \Delta) + m_2 v_{2f} = P.
Agrupando termos em v_{2f}:
(m_1 + m_2) v_{2f} + m_1 \Delta = P.
Logo
v_{2f} = \frac{P - m_1\Delta}{m_1 + m_2}.
Substituindo P e \Delta (de forma simbólica) e simplificando obtém-se a fórmula padrão
v_{2f} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,v_{2i}.
De forma análoga, ou substituindo de volta, obtemos
v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2}\,v_{2i}.
Essas fórmulas são muito úteis na prova: decorre algebraicamente das duas leis acima.

Passo 5

Aplicar os valores numéricos (substituição direta, sem pular etapas):
Aqui v_{2i}=0, então as fórmulas simplificam bastante.
Calcular v_{1f}:
v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2}\,v_{2i} = \frac{2-4}{2+4}\cdot 8 + \frac{2\cdot 4}{6}\cdot 0.
Primeiro termo:
\frac{2-4}{6}\cdot 8 = \frac{-2}{6}\cdot 8 = -\frac{1}{3}\cdot 8 = -\frac{8}{3}.
Portanto
v_{1f} = -\frac{8}{3}\\ \text{m/s} \approx -2{,}666\\ \text{m/s}.
Calcular v_{2f}:
v_{2f} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,v_{2i} = \frac{2\cdot 2}{6}\cdot 8 + \frac{4-2}{6}\cdot 0.
\frac{4}{6}\cdot 8 = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}.
Portanto
v_{2f} = \frac{16}{3}\\ \text{m/s} \approx 5{,}333\\ \text{m/s}.
Interpretação rápida: a partícula m_1 rebateu (velocidade final negativa no sentido escolhido) e m_2 saiu com velocidade positiva maior que metade da original de m_1.

Passo 6

Calcular as energias cinéticas antes e depois (mostrar contas detalhadas) e a razão pedida:
Energia cinética antes (só m_1 se movia):
K_{\text{antes}} = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 8^2 = 1\cdot 64 = 64\\ \text{J}.
Energia cinética depois:
K_{\text{depois}} = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_{2f}^2.
Substituindo os valores fracionários exatos v_{1f} = -\tfrac{8}{3} e v_{2f} = \tfrac{16}{3}:
\tfrac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\left(-\tfrac{8}{3}\right)^2 = 1\cdot \tfrac{64}{9} = \tfrac{64}{9}\\ \text{J}.
\tfrac{1}{2}m_2 v_{2f}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot\left(\tfrac{16}{3}\right)^2 = 2\cdot \tfrac{256}{9} = \tfrac{512}{9}\\ \text{J}.
Somando:
K_{\text{depois}} = \tfrac{64}{9} + \tfrac{512}{9} = \tfrac{576}{9} = 64\\ \text{J}.
Como esperado numa colisão elástica, a energia cinética total se conserva.
Razão entre energias (antes / depois):
\frac{K_{\text{antes}}}{K_{\text{depois}}} = \frac{64}{64} = 1.

Resposta

v_{1f} = -\dfrac{8}{3}\\ \text{m/s},\; v_{2f} = \dfrac{16}{3}\\ \text{m/s}
\dfrac{K_{\text{antes}}}{K_{\text{depois}}} = 1

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