- Uma partícula de massa
com velocidade
colide elasticamente com outra de massa
inicialmente parada.
a) Determine as velocidades finais de ambas.
b) Calcule a razão entre energias cinéticas antes e depois da colisão.
a) Determine as velocidades finais de ambas.
b) Calcule a razão entre energias cinéticas antes e depois da colisão.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (valores pegos do enunciado):
- Massa da partícula 1:
. - Velocidade inicial da partícula 1:
. - Massa da partícula 2:
. - Velocidade inicial da partícula 2:
(parada).
O enunciado pede:
a) Determinar as velocidades finaise após uma colisão elástica unidimensional.
b) Calcular a razão entre as energias cinéticas antes e depois da colisão (ou seja,).
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar (explicação didática):
- Conservação da quantidade de movimento (momento linear) para o sistema isolado em 1D: a soma dos momentos antes é igual à soma depois. A fórmula é
Aqui
são as massas e
são as velocidades antes e depois (positivas na direção escolhida).
- Colisão elástica: além da quantidade de movimento, a energia cinética total também se conserva. A fórmula é
Essas duas equações determinam
e
. Há um truque muito útil para colisões elásticas 1D: a velocidade relativa muda de sinal, isto é,
Vou mostrar rapidamente de onde vem essa relação (é uma dedução curta a partir das duas equações acima), porque ela facilita muito a resolução.
Passo 3
Demonstração do fato da inversão da velocidade relativa (passo a passo, bem didático):
- Escreve a conservação do momento em forma rearranjada:
- Multiplica a conservação de energia por
e rearranja as diferenças de quadrados:
Isto pode ser fatorado usando
:
- Reescrevendo o segundo termo trocando o sinal:
- Pela equação do momento (item 1) temos
. Substituindo na equação acima e cancelando o fator comum (o caso degenerado em que esse fator é zero corresponde a uma colisão sem troca de velocidade, não aqui), obtemos
- Reorganizando:
Pronto — a velocidade relativa troca de sinal.
Passo 4
Resolver o sistema linear usando as duas relações simples:
- Conservação do momento:
- Inversão da velocidade relativa:
Chamo
(quantidade de movimento total conhecida) e
(valor conhecido). A partir de
e substituindo no momento:
Agrupando termos em
:
Logo
Substituindo
e
(de forma simbólica) e simplificando obtém-se a fórmula padrão
De forma análoga, ou substituindo de volta, obtemos
Essas fórmulas são muito úteis na prova: decorre algebraicamente das duas leis acima.
Passo 5
Aplicar os valores numéricos (substituição direta, sem pular etapas):
Aqui , então as fórmulas simplificam bastante.
Aqui
Calcular
:
Primeiro termo:
Portanto
Calcular
:
Portanto
Interpretação rápida: a partícula
rebateu (velocidade final negativa no sentido escolhido) e
saiu com velocidade positiva maior que metade da original de
.
Passo 6
Calcular as energias cinéticas antes e depois (mostrar contas detalhadas) e a razão pedida:
Energia cinética antes (só se movia):
Energia cinética antes (só
Energia cinética depois:
Substituindo os valores fracionários exatos
e
:
Somando:
Como esperado numa colisão elástica, a energia cinética total se conserva.
Razão entre energias (antes / depois):