Em qual posição a concetração de carbono será de 0,25 % p após um tratamento com 10 h de duração?
Dados: C no Fe-gamma: D0=2,3 times 10^-5 m^2 / s ; Q=148 kJ / mol
R=8,31 J / mol K
C no Fe- alpha: D0=6,2 times 10^-7 m^2 / s ; Q=80 kJ / mol

Passo 1

Beleza, vou resumir o que a gente tem e o que precisamos.
Enunciado: “Em qual posição x a concentração de carbono valerá 0,25 % p depois de 10 h de tratamento?”
Matéria: Difusão de soluto em sólido, solução da equação de difusão de Fick para semi-infinito usando função erro (“erro function”).
O que vamos precisar:
  1. Calcular o coeficiente de difusão D a certa temperatura T (usando Arrhenius:
    D = D₀·exp(–Q/RT)).
  2. Usar a solução C(x,t) = Cs·erfc[x/(2√(D·t))], inverter para achar x quando C(x,t)=0,25 %p.

Passo 2

Definindo contornos e equação de difusão
Como vamos modelar, consideramos:
– Semi-infinito (x≥0), superfície em x=0 mantém tensão de carbono constante Cs.
– Teor inicial no interior Ci = 0 (assumimos superfície livre de C no início).
– Solução canônica de Fick 1D para Ci→0 e Cs constante é
Queremos encontrar x tal que C(x,t)=0{,}25 % p.

Passo 3

Escolhendo a fase e a temperatura
Em geral, a cementação é feita em austenita (Fe–γ), então usamos
D₀ = 2,3×10⁻⁵ m²/s, Q = 148 kJ/mol.
Precisamos de T. Como o enunciado não dá, vamos supor um valor típico de cementação:
T = 900 °C = 1173 K.
Assim
D = 2,3times10^-5,exp!l(-148,0008,31cdot1173r);m^2/s

Passo 4

Calculando D e invertendo para x
  1. Calcular o expoente:
    –Q/(R T) = –148 000/(8,31·1173) ≃ –15,18
    ⇒ D ≃ 2,3×10⁻⁵·e^(–15,18) ≃ 2,3×10⁻⁵·2,56×10⁻⁷ ≃ 5,9×10⁻¹² m²/s.
  2. Tempo: t = 10 h = 36 000 s.
  3. Relação que a gente vai inverter:
então
Tabela ou software dá erfc⁻¹(0,25) ≃ 0,595.
4) Logo
0,25 = C(x,t)Cs = erfc!l(x2raizD,tr),
Primeiro √(5,9e–12·3,6e4) = √(2,124e–7) ≃ 4,61e–4 m.
Então x ≃ 2·4,61e–4·0,595 ≃ 5,49e–4 m.

Resposta

A concentração de 0,25 % p ocorre a cerca de
x ≃ 5,5×10⁻⁴ m (≈ 0,55 mm) da superfície após 10 h a 900 °C.

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