• A posição de um corpo, em função do tempo t, é descrita pela equação \overrightarrow{\mathrm{r}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{i}}+\beta \mathrm{t}^{4} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\gamma \mathrm{t} \overrightarrow{\mathrm{k}}, onde \alpha, \beta e \gamma são constantes. À medida em que o tempo passa, o módulo, a direção e o sentido da força resultante que age sobre o corpo são, respectivamente,
    a) variável, variável e variável.
    b) constante, constante e variável.
    c) constante, constante e constante.
    d) variável, constante e constante.
    e) constante, variável e variável.

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo como
\overrightarrow{r}(t)=\alpha\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+\beta\,t^{4}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+\gamma\,t\,\overrightarrow{\mathrm{k}}
e pede para analisar o módulo, a direção e o sentido da força resultante que age no corpo. O conteúdo é a segunda lei de Newton, em que calculamos velocidade, aceleração e usamos \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}.

Passo 2

Derivando a posição em relação a t obtemos a velocidade e a aceleração:
\overrightarrow{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=0\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+4\beta\,t^{3}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+\gamma\,\overrightarrow{\mathrm{k}}
\overrightarrow{a}(t)=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=0\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+12\beta\,t^{2}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+0\,\overrightarrow{\mathrm{k}}

Passo 3

Pela segunda lei de Newton, a força resultante é
\overrightarrow{F}(t)=m\,\overrightarrow{a}(t)=m\bigl(0\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+12\beta\,t^{2}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+0\,\overrightarrow{\mathrm{k}}\bigr)=12m\beta\,t^{2}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}

Passo 4

O módulo de \overrightarrow{F}(t) é
\lvert \overrightarrow{F}(t)\rvert = \bigl\lvert 12m\beta\,t^{2}\bigr\rvert =12m\lvert \beta\rvert\,t^{2},
que depende de t. Logo, o módulo é variável.

Passo 5

A direção de \overrightarrow{F}(t) é dada pelo versor de \overrightarrow{\mathrm{j}}, pois só existe componente nessa direção. Esse versor não muda com t, portanto a direção é constante.

Passo 6

O sentido de \overrightarrow{F}(t) vem do sinal de 12\beta\,t^{2}. Como t^{2} é sempre positivo e \beta é constante, o sinal de \overrightarrow{F} é fixo. Logo, o sentido também é constante.

Resposta

d) variável, constante e constante.

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