Avalie a integral \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \, dx.
Este é um exercício de cálculo de integrais impróprias usando a antiderivada da função \tfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 2

Para tratar o limite de integração infinito, escrevemos
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \, dx = \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Identificamos a primitiva de \tfrac{1}{1+x^{2}}. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}},
logo uma antiderivada é \arctan(x).

Passo 4

Aplicando a antiderivada no intervalo [0,b], obtemos
\int_{0}^{b}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \bigl[\arctan(x)\bigr]_{0}^{b} = \arctan(b)-\arctan(0).

Passo 5

Tomamos o limite b\to\infty. Como \lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\tfrac{\pi}{2}
e \arctan(0)=0, segue que
\lim_{b\to\infty}\bigl(\arctan(b)-\arctan(0)\bigr) =\frac{\pi}{2}-0 =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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