A posição de uma determinada partícula varia com o passar do tempo de acordo com a equação x=2,0 t^3-10 t^2+2,0 t, na qual x é expresso em metros e t em segundos.
A média aritmética das velocidades entre 2,0 e 4,0 s é igual à velocidade média? Por quê?

Passo 1

Beleza, amigo! A gente tem a posição de uma partícula dada por

com em metros e em segundos. A questão é: “A média aritmética das velocidades instantâneas em s e s é igual à velocidade média (isto é, ) nesse intervalo? Por quê?”
Conteúdo: derivada (para achar velocidade instantânea) e razão incremental (para achar velocidade média).

Passo 2

Primeiro a velocidade instantânea v(t)=dxdt = ddtl(2,0,t^3-10,t^2+2,0,tr) =6,t^2-20,t+2, é a derivada de :
Isso vem da regra .

Passo 3

Agora calculo v(2)=6cdot2^2-20cdot2+2=6cdot4-40+2=24-40+2=-14 m/s, e v(4)=6cdot4^2-20cdot4+2=6cdot16-80+2=96-80+2=18 m/s :
v(2)+v(4)2=-14+182=42=2 m/s
A média aritmética dessas duas é

Passo 4

Agora a velocidade média entre vmédia =De s e x(2)=2cdot2^3-10cdot2^2+2cdot2 =16-40+4=-20 m, s é
x(4)=2cdot4^3-10cdot4^2+2cdot4 =128-160+8=-24 m é
Calculo vmédia =-24-(-20)2 =-42=-2 m/s e :
Então
é

Passo 5

Comparando:
– Média aritmética das velocidades instantâneas: m/s
– Velocidade média ( ): m/s
Elas não são iguais.
Por quê? A média aritmética de e só bate com se for uma função linear de . Aqui é quadrática, então a variação não é uniforme e a conta não fecha.

Resposta

Não, a média aritmética das velocidades em 2 s e 4 s dá m/s, enquanto a velocidade média vale m/s. Isso acontece porque não é linear; com função quadrática, a média dos extremos não coincide com a variação total sobre o intervalo.

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