A posição de uma determinada partícula varia com o passar do tempo de acordo com a equação x=2,0 t^3-10 t^2+2,0 t, na qual x é expresso em metros e t em segundos.
a) Determine o deslocamento e a velocidade média para o intervalo de tempo entre 2,0 e 4,0 s.
b) Ache a expressão geral para a velocidade instantânea e calcule-a para t=3,0 s e t=5,0 s.
c) A média aritmética das velocidades entre 2,0 e 4,0 s é igual à velocidade média? Por quê?
d) Calcule a aceleração média para o intervalo de tempo entre 3,0 e 5,0 s.
e) Obtenha a expressão geral para a aceleração instantânea e calcule-a para t=4,0 s.

Passo 1

O enunciado diz que a posição de uma partícula é dada por
x(t) = 2,0,t^3 - 10,t^2 + 2,0,t(metros)
com em segundos.
Conteúdo: cinemática e noções de cálculo (derivada).
O que a gente vai usar:
- Definição de deslocamento: .
- Velocidade média: .
- Velocidade instantânea: .
- Aceleração média: .
- Aceleração instantânea: .
A partir do próximo passo a gente faz os cálculos passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

Parte (a): deslocamento e velocidade média entre vrm m = De s e  s.
  1. Avalia e :
    ,m
    ,m
  2. Deslocamento ,m
  3. Tempo decorrido  s
  4. Velocidade média

Passo 3

Parte (b): expressão geral da velocidade instantânea e valores em v(t) = dxdt = 6,0,t^2 - 20,t + 2,0  s e  s.
  1. Derivada de :
  1. Em :
    ,m/s
  2. Em :
    ,m/s

Passo 4

Parte ©: a média aritmética das velocidades em 2 s e 4 s é igual à velocidade média?
  1. Calcula e :
    ,m/s
    ,m/s
  2. Média aritmética ,m/s
  3. Comparando:
  • Velocidade média calculada no Passo 2 foi ,m/s.
  • A média aritmética deu ,m/s.
    Conclusão: não são iguais, porque a função velocidade não é linear; a velocidade média é baseada em , não na média simples dos valores pontuais.

Passo 5

Parte (d): aceleração média entre arm m = v(5)-v(3)5-3 = 52 - (-4)2 = 562 =28 m/s^2  s e  s.
Definição:

Passo 6

Parte (e): expressão geral da aceleração instantânea e valor em a(t) = dvdt = ddtl(6t^2 -20t +2r) = 12,t -20  s.
  1. Deriva :
  1. Em :
    ,m/s²

Resposta

a) ,m e ,m/s
b) ; ,m/s; ,m/s
c) Média aritmética ,m/s porque não é linear
d) ,m/s²
e) ; ,m/s²

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