A posição de um elétron é dada por
r(t)=3,00 t i-4,00 t^2 J+2,00 k
com t em segundos e em metros. No instante t =2 s, quais são os valores dos ângulos de v(t) e a(t) em relação ao sentido positivo do eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de um elétron em função do tempo:
r(t) = 3,00, t, i - 4,00, t^2, j + 2,00, k
Nosso objetivo é encontrar, no instante $ t = 2, s $, os ângulos que a velocidade $ \mathbf{v}(t) $ e a aceleração $ \mathbf{a}(t) $ fazem com o sentido positivo do eixo $ x $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo vetorial para derivar a posição em relação ao tempo e, em seguida, calcular os ângulos desses vetores em relação ao eixo $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade $ \mathbf{v}(t) $. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)
Calculando a derivada para cada componente:
v(t) = dr(t)dt
ddt(3,00, t) = 3,00
ddt(-4,00, t^2) = -8,00, t
Então, a velocidade é:
ddt(2,00) = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração $ \mathbf{a}(t) $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)
Calculando a derivada para cada componente:
a(t) = dv(t)dt
ddt(3,00) = 0
ddt(-8,00, t) = -8,00
Então, a aceleração é:
ddt(0) = 0

Passo 4

Vamos avaliar $ \mathbf{v}(t) $ e $ \mathbf{a}(t) $ no instante $ t = 2, s $:
Para a velocidade:
v(t)
Para a aceleração:
a(t)

Passo 5

Agora, vamos encontrar os ângulos que $ \mathbf{v}(2) $ e $ \mathbf{a}(2) $ fazem com o eixo $ x $.
A fórmula para calcular o ângulo $ \theta $ de um vetor $ \mathbf{V} = V_x, \mathbf{i} + V_y, \mathbf{j} + V_z, \mathbf{k} $ com o eixo $ x $ é:
v(2)
No nosso caso, como $ V_z = 0 $ para ambos os vetores, a fórmula simplifica para:
a(2)

Passo 6

Vamos calcular o ângulo para a velocidade $ \mathbf{v}(2) = 3,00, \mathbf{i} - 16,00, \mathbf{j} $:
v(2) = 3,00, i - 16,00, j
Calculando:
thetav = arctan(-16,003,00)
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo $ x $, podemos dizer que o ângulo é $ 79,0^\circ $ abaixo do eixo $ x $.

Passo 7

Agora, para a aceleração $ \mathbf{a}(2) = -8,00, \mathbf{j} $:
a(2) = -8,00, j
Aqui, como $ V_x = 0 $, o vetor está completamente na direção negativa do eixo $ y $, e o ângulo com o eixo $ x $ é $ 90,0^\circ $ (para baixo).

Resposta

No instante $ t = 2, s $, a velocidade $ \mathbf{v}(2) $ faz um ângulo de aproximadamente $ 79,0^\circ $ abaixo do eixo $ x $, e a aceleração $ \mathbf{a}(2) $ faz um ângulo de $ 90,0^\circ $ com o eixo $ x $.

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