Qual é o trabalho realizado por uma força
e
em metros, ao deslocar uma partícula da posição
para a posição
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O que a gente tem aqui é um problema sobre trabalho realizado por uma força. A força dada depende das coordenadas
,
e
, e a gente precisa calcular o trabalho que essa força faz ao mover uma partícula de uma posição inicial
para uma posição final
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial e trabalho de uma força variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está agindo sobre a partícula. A força $ \mathbf{F} $ é dada por:
Isso significa que a força varia com as posições
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as posições inicial $ r_i $ e final $ r_f $:
Perceba que na posição inicial, só temos componentes
e
, e na final,
e
. Isso significa que a partícula se move de uma posição onde
para uma onde
.
Passo 4
Para calcular o trabalho $ W $ realizado pela força $ \mathbf{F} $ durante o deslocamento da partícula, usamos a fórmula:
Onde $ C $ é o caminho percorrido pela partícula. Como a força depende da posição, precisamos integrar ao longo do caminho.
Passo 5
Mas aqui entra uma manha: se a força é conservativa, o trabalho depende apenas das posições inicial e final, não do caminho. Uma força é conservativa se o rotacional dela é zero. Vamos verificar isso.
Passo 6
Calculando o rotacional de $ \mathbf{F} $:
Calculando cada derivada:
Como o rotacional é zero, a força é conservativa!
Passo 7
Isso significa que existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $. Podemos encontrar $ \phi $ integrando as componentes de $ \mathbf{F} $:
Então, a função potencial é:
Passo 8
Agora, o trabalho $ W $ é simplesmente a diferença do potencial nas posições final e inicial:
Vamos calcular $ \phi $ em $ r_f $ e $ r_i $.
Passo 9
Primeiro, em $ r_f = (3,7, \mathrm{m}), \mathbf{i} + (5,6, \mathrm{m}), \mathbf{j} $:
Passo 10
Agora, em $ r_i = (2,8, \mathrm{m}), \mathbf{i} + (3,1, \mathrm{m}), \mathbf{k} $ (note que $ y = 0 $ aqui):
Passo 11
Finalmente, o trabalho realizado é:
Resposta
O trabalho realizado pela força é aproximadamente 127,92 joules.