Qual é o trabalho realizado por uma força F=(6,2 x N) i+(7,7 y N) j+(2,3 z N) k, com x, y e z em metros, ao deslocar uma partícula da posição ri=(2,8 m) i+(3,1 m) k para a posição rf=(3,7 m) i+(5,6 m) j?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O que a gente tem aqui é um problema sobre trabalho realizado por uma força. A força dada depende das coordenadas x, y e z, e a gente precisa calcular o trabalho que essa força faz ao mover uma partícula de uma posição inicial ri para uma posição final rf. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial e trabalho de uma força variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo sobre a partícula. A força $ \mathbf{F} $ é dada por:
F
Isso significa que a força varia com as posições F = (6,2x, N), i + (7,7y, N), j + (2,3z, N), k , x e y.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as posições inicial $ r_i $ e final $ r_f $:
ri
rf
Perceba que na posição inicial, só temos componentes ri = (2,8, m), i + (3,1, m), k e rf = (3,7, m), i + (5,6, m), j , e na final, x e z. Isso significa que a partícula se move de uma posição onde x para uma onde y.

Passo 4

Para calcular o trabalho $ W $ realizado pela força $ \mathbf{F} $ durante o deslocamento da partícula, usamos a fórmula:
W
Onde $ C $ é o caminho percorrido pela partícula. Como a força depende da posição, precisamos integrar ao longo do caminho.

Passo 5

Mas aqui entra uma manha: se a força é conservativa, o trabalho depende apenas das posições inicial e final, não do caminho. Uma força é conservativa se o rotacional dela é zero. Vamos verificar isso.

Passo 6

Calculando o rotacional de $ \mathbf{F} $:
F
Calculando cada derivada:
nabla times F = ( partialpartial y(2,3z) - partialpartial z(7,7y) )i + ( partialpartial z(6,2x) - partialpartial x(2,3z) )j + ( partialpartial x(7,7y) - partialpartial y(6,2x) )k
Como o rotacional é zero, a força é conservativa!

Passo 7

Isso significa que existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $. Podemos encontrar $ \phi $ integrando as componentes de $ \mathbf{F} $:
phi
F = nabla phi
phi
Então, a função potencial é:
F

Passo 8

Agora, o trabalho $ W $ é simplesmente a diferença do potencial nas posições final e inicial:
W
Vamos calcular $ \phi $ em $ r_f $ e $ r_i $.

Passo 9

Primeiro, em $ r_f = (3,7, \mathrm{m}), \mathbf{i} + (5,6, \mathrm{m}), \mathbf{j} $:
rf = (3,7, m), i + (5,6, m), j
phi(rf) = 3,1(3,7)^2 + 3,85(5,6)^2 + 1,15(0)^2
phi(rf) = 3,1 times 13,69 + 3,85 times 31,36 + 0

Passo 10

Agora, em $ r_i = (2,8, \mathrm{m}), \mathbf{i} + (3,1, \mathrm{m}), \mathbf{k} $ (note que $ y = 0 $ aqui):
ri = (2,8, m), i + (3,1, m), k
y = 0
phi(ri) = 3,1(2,8)^2 + 3,85(0)^2 + 1,15(3,1)^2

Passo 11

Finalmente, o trabalho realizado é:
W = phi(rf) - phi(ri) = 163,275, J - 35,356, J = 127,919, J

Resposta

O trabalho realizado pela força é aproximadamente 127,92 joules.

Exercícios relacionados