A posição de um elétron é dada por r=3,00 t i-4,00 t^2 j+2,00 k com t em segundos e r em metros. (a) Qual é a velocidade v(t) do elétron na notação dos vetores unitários? Quanto vale v(t) no instante t= 2,00 s (b) na notação dos vetores unitários e como © um módulo e (d) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática vetorial! A gente tem a posição de um elétron dada pela equação vetorial r = 3,00, t, i - 4,00, t^2, j + 2,00, k, onde t é o tempo em segundos e r está em metros. O conteúdo que vamos usar envolve derivadas para encontrar a velocidade, que é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Vamos precisar calcular a derivada de cada componente da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de r em relação a t:
v(t) = drdt = ddt(3,00, t, i) - ddt(4,00, t^2, j) + ddt(2,00, k)

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  1. Para 3,00, t, i, a derivada é 3,00, i.
  2. Para -4,00, t^2, j, a derivada é -8,00, t, j.
  3. Para 2,00, k, como não depende de t, a derivada é 0, k.
Então, juntando tudo:
v(t) = 3,00, i - 8,00, t, j

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade no instante t = 2,00, s. Basta substituir t por 2,00 na expressão da velocidade:
v(2,00) = 3,00, i - 8,00 times 2,00, j = 3,00, i - 16,00, j

Passo 5

Para encontrar o módulo da velocidade |v|, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
No nosso caso, v(2,00) = 3,00, i - 16,00, j, então:
|v(2,00)| = raiz(3,00)^2 + (-16,00)^2 = raiz9 + 256 = raiz265 approx 16,28, m/s

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta que a velocidade faz com o eixo x, usamos a tangente do ângulo:
tan(theta) = vyvx = -16,003,00
Então,
theta = arctan(-16,003,00) approx -79,86^circ
Como o ângulo é negativo, podemos dizer que ele está 79,86^circ abaixo do eixo x.

Resposta

A velocidade do elétron no instante t = 2,00, s é v(2,00) = 3,00, i - 16,00, j m/s, com módulo aproximado de 16,28, m/s e formando um ângulo de 79,86^circ abaixo do eixo x.

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