A posição de uma partícula num sistema de coordenadas O é medida em metros de acordo com a expressão
r=(6 t^2-4 t) i-3 t^3 j+3 k
(a) Determine a velocidade relativa do sistema O^prime com respeito a O se a posição da partícula em relação a O^prime se mede em metros como
r^prime=(6 t^2+3 t) i-3 t^3 j+3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cinemática! A gente tem uma partícula com posição dada em dois sistemas de coordenadas diferentes, $ O $ e $ O’ $. O objetivo é encontrar a velocidade relativa de $ O’ $ em relação a $ O $. Para isso, vamos precisar calcular as velocidades nos dois sistemas e depois comparar elas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da partícula no sistema $ O $. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. A posição em $ O $ é dada por:
O
Então, a velocidade $ \vec{v} $ em $ O $ é:
O

Passo 3

Vamos derivar cada componente da posição em $ O $:
O
ddt(6t^2 - 4t) = 12t - 4
ddt(-3t^3) = -9t^2
Portanto, a velocidade em $ O $ fica:
ddt(3) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade no sistema $ O’ $. A posição em $ O’ $ é:
O'
Assim, a velocidade $ \vec{v}’ $ em $ O’ $ é:
O'

Passo 5

Derivando cada componente da posição em $ O’ $:
O'
ddt(6t^2 + 3t) = 12t + 3
ddt(-3t^3) = -9t^2
Portanto, a velocidade em $ O’ $ fica:
ddt(3) = 0

Passo 6

Para encontrar a velocidade relativa de $ O’ $ em relação a $ O $, a gente subtrai a velocidade de $ O $ da velocidade de $ O’ $:
O'
Substituindo as velocidades que calculamos:
O

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
vrel = (12t + 3 - 12t + 4)i + (-9t^2 + 9t^2)j + 0k
O que resulta em:
vrel = 7i

Resposta

A velocidade relativa do sistema $ O’ $ com respeito a $ O $ é $ 7, \hat{i} $ metros por segundo.

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