A posição de uma partícula num sistema de coordenadas
é medida em metros de acordo com a expressão
(a) Determine a velocidade relativa do sistema
com respeito a
se a posição da partícula em relação a
se mede em metros como
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cinemática! A gente tem uma partícula com posição dada em dois sistemas de coordenadas diferentes, $ O $ e $ O’ $. O objetivo é encontrar a velocidade relativa de $ O’ $ em relação a $ O $. Para isso, vamos precisar calcular as velocidades nos dois sistemas e depois comparar elas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade da partícula no sistema $ O $. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. A posição em $ O $ é dada por:
Então, a velocidade $ \vec{v} $ em $ O $ é:
Passo 3
Vamos derivar cada componente da posição em $ O $:
Portanto, a velocidade em $ O $ fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade no sistema $ O’ $. A posição em $ O’ $ é:
Assim, a velocidade $ \vec{v}’ $ em $ O’ $ é:
Passo 5
Derivando cada componente da posição em $ O’ $:
Portanto, a velocidade em $ O’ $ fica:
Passo 6
Para encontrar a velocidade relativa de $ O’ $ em relação a $ O $, a gente subtrai a velocidade de $ O $ da velocidade de $ O’ $:
Substituindo as velocidades que calculamos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
O que resulta em:
Resposta
A velocidade relativa do sistema $ O’ $ com respeito a $ O $ é $ 7, \hat{i} $ metros por segundo.