Uma onda progressiva tem equação:
Qual a velocidade transversal da corda em um ponto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma onda que se propaga com a equação $ y = 9 \sin(2\pi x - 4\pi t) $. O que precisamos encontrar é a velocidade transversal da corda em um ponto específico, onde $ x = 0.2 $ e $ t = 0.1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade transversal é a taxa de variação da posição vertical da corda em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade transversal ($ v_y $) é a derivada da posição $ y $ em relação ao tempo $ t $. Então, $ v_y = \frac{\partial y}{\partial t} $. Isso significa que precisamos derivar a equação da onda em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos derivar $ y = 9 \sin(2\pi x - 4\pi t) $ em relação a $ t $:
Simplificando:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função seno.
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x = 0.2 $ e $ t = 0.1 $ na expressão que encontramos para $ v_y $:
Calculando os argumentos:
Então:
Resposta
A velocidade transversal da corda no ponto $ x = 0.2 $ e $ t = 0.1 $ é $ -36\pi $ unidades de velocidade.