A posição em função do tempo de um carro que se move em uma estrada horizontal, bem como sua velocidade e aceleração, são representadas pelas equaçöes a seg:
Calcule:
o vetor posição do carro em
o vetor posição do carro em
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
Temos as expressões (copiadas do enunciado) para a posição, velocidade e aceleração do carro:
Temos as expressões (copiadas do enunciado) para a posição, velocidade e aceleração do carro:
O que é pedido: calcular o vetor posição do carro em
, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes extraídas:
- A componente
(direção ) de é . - A componente
(direção ) de aparece escrita com um fator multiplicando . - A componente
da velocidade dada é e a da aceleração é .
Passo 2
Verificando consistência entre
,
e
para determinar o fator
.
Por regras do cálculo: a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade. Vou usar isso só para achar o valor de na componente
.
Por regras do cálculo: a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade. Vou usar isso só para achar o valor de
Primeiro, integramos a componente
da aceleração para obter a componente
da velocidade. A aceleração dada na direção
é
Integração (regra:
) dá
onde
é constante de integração. Comparando com a componente
fornecida em
, que é exatamente
, vemos que
. Logo a integração bate, sem termo extra.
Agora integramos
para obter
. Usando
,
No enunciado a componente
de
aparece como
. Comparando com o resultado da integração, devemos ter
e, portanto,
. Também podemos concluir que a constante de integração
foi escolhida zero no enunciado (não há termo independente em
na expressão dada). Esta é uma dedução necessária e consistente com as três expressões fornecidas.
Resumo desta verificação: a componente
correta da posição é
Passo 3
Avaliar a componente
de
em
.
A fórmula para a componente é
A fórmula para a componente
Explicando cada termo:
-
é a posição inicial em (quando ). -
é o deslocamento linear devido à velocidade inicial de . -
é o deslocamento extra devido à aceleração constante (fórmula clássica de movimento retilíneo com aceleração constante: ).
Substituindo
(e lembrando que
significa
):
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 4
Avaliar a componente
de
em
.
Usamos a expressão deduzida no Passo 2:
Usamos a expressão deduzida no Passo 2:
Substituindo
:
Agora calcule o coeficiente numérico:
significa
. Então
Portanto
Valor decimal (aproximação):
. É melhor, quando possível, deixar a fração exata
.
Passo 5
Montando o vetor posição em
.
Juntando as componentes e
encontradas:
Juntando as componentes
Interpretação física rápida (pra te animar): o carro está a
na direção
desde a origem, e sua coordenada
é muito pequena e negativa (
), ou seja, praticamente na estrada (deslocamento vertical ≈
).