A posição em função do tempo de um carro que se move em uma estrada horizontal, bem como sua velocidade e aceleração, são representadas pelas equaçöes a seg:
\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\left[50 \mathrm{~m}+(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t+\frac{1}{2}\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2}\right] \hat{\mathrm{i}}-\left[\frac{1}{\mathrm{~b}}\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{3}\right] \hat{\mathrm{j}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\left[(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s})+\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t\right] \hat{\mathrm{i}}-\left[\frac{1}{2}\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{2}\right] \hat{\mathrm{j}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\left[\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\right] \hat{\mathbf{i}}-\left[\left(0,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t\right] \hat{\mathrm{j}} \end{aligned}
Calcule:
o vetor posição do carro em \mathrm{t}=1,0 \mathrm{~s}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
Temos as expressões (copiadas do enunciado) para a posição, velocidade e aceleração do carro:
\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\bigl[50\\ \mathrm{m}+(10\\ \mathrm{m/s})\,t+\tfrac{1}{2}\bigl(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\bigr)\,t^{2}\bigr]\hat{\mathbf{i}}-\bigl[\tfrac{1}{\mathrm{b}}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\,t^{3}\bigr]\hat{\mathbf{j}}
\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\bigl[(10\\ \mathrm{m/s})+\bigl(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\bigr)\,t\bigr]\hat{\mathbf{i}}-\bigl[\tfrac{1}{2}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\,t^{2}\bigr]\hat{\mathbf{j}}
\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\bigl[(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}})\bigr]\hat{\mathbf{i}}-\bigl[(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}})\,t\bigr]\hat{\mathbf{j}}
O que é pedido: calcular o vetor posição do carro em \,1,0\\ \mathrm{s}, ou seja, encontrar \overrightarrow{\mathbf{r}}\bigl(1,0\\ \mathrm{s}\bigr).
Informações relevantes extraídas:
  • A componente x (direção \hat{\mathbf{i}}) de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) é \;50\\ \mathrm{m}+(10\\ \mathrm{m/s})\,t+\tfrac{1}{2}(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}})t^{2}.
  • A componente y (direção \hat{\mathbf{j}}) de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) aparece escrita com um fator \tfrac{1}{\mathrm{b}} multiplicando (0,10\\ \mathrm{m/s^{3}})t^{3}.
  • A componente y da velocidade dada é -\tfrac{1}{2}(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}})t^{2} e a da aceleração é -\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)t.

Passo 2

Verificando consistência entre \overrightarrow{\mathbf{a}}(t), \overrightarrow{\mathbf{v}}(t) e \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) para determinar o fator \tfrac{1}{\mathrm{b}}.
Por regras do cálculo: a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade. Vou usar isso só para achar o valor de \tfrac{1}{\mathrm{b}} na componente y.
Primeiro, integramos a componente y da aceleração para obter a componente y da velocidade. A aceleração dada na direção y é
a_{y}(t) = -\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\,t.
Integração (regra: \int t\,dt = \tfrac{1}{2}t^{2}) dá
v_{y}(t)=\int a_{y}(t)\,dt = -\tfrac{1}{2}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\,t^{2} + C,
onde C é constante de integração. Comparando com a componente y fornecida em \overrightarrow{\mathbf{v}}(t), que é exatamente -\tfrac{1}{2}(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}})t^{2}, vemos que C=0. Logo a integração bate, sem termo extra.
Agora integramos v_{y}(t) para obter r_{y}(t). Usando \int t^{2}dt = \tfrac{1}{3}t^{3},
r_{y}(t)=\int v_{y}(t)\,dt = -\tfrac{1}{2}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\cdot \tfrac{1}{3}t^{3} + C' = -\tfrac{1}{6}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\,t^{3} + C'.
No enunciado a componente y de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) aparece como -\tfrac{1}{\mathrm{b}}(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}})t^{3}. Comparando com o resultado da integração, devemos ter
\tfrac{1}{\mathrm{b}}=\tfrac{1}{6}
e, portanto, \mathrm{b}=6. Também podemos concluir que a constante de integração C' foi escolhida zero no enunciado (não há termo independente em y na expressão dada). Esta é uma dedução necessária e consistente com as três expressões fornecidas.
Resumo desta verificação: a componente y correta da posição é
r_{y}(t) = -\tfrac{1}{6}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\,t^{3}.

Passo 3

Avaliar a componente x de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) em \,t=1,0\\ \mathrm{s}.
A fórmula para a componente x é
r_{x}(t)=50\\ \mathrm{m}+(10\\ \mathrm{m/s})\,t+\tfrac{1}{2}\bigl(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\bigr)\,t^{2}.
Explicando cada termo:
  • 50\\ \mathrm{m} é a posição inicial em x (quando t=0).
  • (10\\ \mathrm{m/s})\,t é o deslocamento linear devido à velocidade inicial de 10\\ \mathrm{m/s}.
  • \tfrac{1}{2}(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}})\,t^{2} é o deslocamento extra devido à aceleração constante 2,0\\ \mathrm{m/s^{2}} (fórmula clássica de movimento retilíneo com aceleração constante: \Delta x = v_{0}t + \tfrac{1}{2}at^{2}).
Substituindo t=1,0\\ \mathrm{s} (e lembrando que (2,0) significa 2{,}0):
r_{x}(1,0\\ \mathrm{s}) = 50\\ \mathrm{m} + (10\\ \mathrm{m/s})\cdot 1,0\\ \mathrm{s} + \tfrac{1}{2}\bigl(2,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\bigr)\cdot (1,0\\ \mathrm{s})^{2}.
Calcule passo a passo:
(10\\ \mathrm{m/s})\cdot 1,0\\ \mathrm{s} = 10\\ \mathrm{m},
\tfrac{1}{2}\cdot 2,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\cdot 1,0^{2}\\ \mathrm{s^{2}} = 1,0\\ \mathrm{m}.
Somando:
r_{x}(1,0\\ \mathrm{s}) = 50\\ \mathrm{m} + 10\\ \mathrm{m} + 1,0\\ \mathrm{m} = 61\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Avaliar a componente y de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) em \,t=1,0\\ \mathrm{s}.
Usamos a expressão deduzida no Passo 2:
r_{y}(t) = -\tfrac{1}{6}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\,t^{3}.
Substituindo t=1,0\\ \mathrm{s}:
r_{y}(1,0\\ \mathrm{s}) = -\tfrac{1}{6}\bigl(0,10\\ \mathrm{m/s^{3}}\bigr)\cdot (1,0\\ \mathrm{s})^{3}.
Agora calcule o coeficiente numérico: (0,10) significa 0{,}10. Então
\tfrac{1}{6}\times 0,10 = \tfrac{0,10}{6} = \tfrac{1}{60}.
Portanto
r_{y}(1,0\\ \mathrm{s}) = -\tfrac{1}{60}\\ \mathrm{m}.
Valor decimal (aproximação): -\tfrac{1}{60}\\ \mathrm{m} = -0,016\overline{6}\\ \mathrm{m}. É melhor, quando possível, deixar a fração exata -\tfrac{1}{60}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Montando o vetor posição em \,t=1,0\\ \mathrm{s}.
Juntando as componentes x e y encontradas:
\overrightarrow{\mathbf{r}}(1,0\\ \mathrm{s}) = r_{x}(1,0\\ \mathrm{s})\,\hat{\mathbf{i}} + r_{y}(1,0\\ \mathrm{s})\,\hat{\mathbf{j}} = 61\\ \mathrm{m}\,\hat{\mathbf{i}} - \tfrac{1}{60}\\ \mathrm{m}\,\hat{\mathbf{j}}.
Interpretação física rápida (pra te animar): o carro está a 61\\ \mathrm{m} na direção x desde a origem, e sua coordenada y é muito pequena e negativa ( -\tfrac{1}{60}\\ \mathrm{m}), ou seja, praticamente na estrada (deslocamento vertical ≈ -0,0167\\ \mathrm{m}).

Resposta

\overrightarrow{\mathbf{r}}(1,0\\ \mathrm{s}) = 61\\ \mathrm{m}\,\hat{\mathbf{i}} - \dfrac{1}{60}\\ \mathrm{m}\,\hat{\mathbf{j}}

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