(10,0 pontos) Uma pessoa realiza tres deslocamentos sucessivos conforme listado abaixo:
A: 72.4 m , na orientação
do norte para o leste
, na orientação
do ceste para o sul
:
diretamente do norte para o sul
Considere o eixo horizontal
orientado de ceste para leste e o eixo vertical y orientado do sul para norte.
(a) Escreva os vetores deslocamento
e
em função dos vetores unitarios
e
(b) Calcule o vetor deslocamento resultante e o apresente em funçåo dos vetores unitarios
, j e k
(c) Calcule o módulo e a orientação do vetor deslocamento resultante.
Considere o eixo horizontal
(a) Escreva os vetores deslocamento
(b) Calcule o vetor deslocamento resultante e o apresente em funçåo dos vetores unitarios
(c) Calcule o módulo e a orientação do vetor deslocamento resultante.
Passo 1
O enunciado dá três deslocamentos e pede (a) escrever cada vetor em componentes cartesianas, (b) calcular o deslocamento resultante em componentes, e (c) calcular módulo e orientação do resultante. Dados (vou repetir os dados exatamente como estão no enunciado):
- Deslocamento
: , orientação do norte para o leste. - Deslocamento
: , orientação do leste para o sul. - Deslocamento
: , diretamente do norte para o sul.
Eixos (dados pelo enunciado): eixo horizontal
orientado de oeste para leste (ou seja, positivo para leste) e eixo vertical
orientado do sul para o norte (ou seja, positivo para norte). As componentes deverão ser expressas em função dos vetores unitários
(leste),
(norte) e
.
Passo 2
Como decompor um vetor em componentes (aula rápida e direta):
- Se você tem um vetor de magnitude
e um ângulo medido a partir do eixo positivo (leste), então as componentes são
Aqui precisamos ter cuidado porque os ângulos do enunciado são dados relativamente ao norte ou ao leste em direções específicas. Para os casos deste problema, usamos as regras:
- Para um ângulo
dado “do norte para o leste” (ou seja, partir do eixo positivo girando em direção a positivo): (Porque a componente ao longo de usa o cosseno do ângulo a partir do norte, e a componente ao longo de usa o seno.) - Para um ângulo
dado “do leste para o sul” (ou seja, partir do eixo positivo girando em direção ao eixo negativo ): (O sinal negativo em aparece porque o vetor tem componente para o sul, que é direção negativa de .) - Para um deslocamento “diretamente do norte para o sul” significa vetor apontando para o sul:
, .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos três vetores.
Passo 3
Decomposição do vetor
.
Dados:
e ângulo
do norte para o leste. Pela regra do passo anterior:
Calculos trigonométricos (valores aproximados usados):
e
.
Agora multiplicamos:
Como os deslocamentos são no plano horizontal, a componente em
é zero:
Passo 4
Decomposição do vetor
.
Dados:
e ângulo
do leste para o sul. Pela regra do passo 2:
Valores trigonométricos:
e
.
Multiplicando:
Componente
é zero:
Passo 5
Decomposição do vetor
.
Dados:
, diretamente do norte para o sul, ou seja, aponta para o sul. Logo:
Portanto
Passo 6
Soma das componentes para obter o vetor deslocamento resultante
.
Somando componente a componente:
(Arredondei para duas casas decimais; cálculo exato intermediário deu
, que arredondamos para
ou
; vou manter
para consistência com soma exata abaixo.)
(Intermediário exato:
, arredondado para
.)
Componente vertical nula:
Logo
Passo 7
Cálculo do módulo do vetor resultante (fórmula e aplicação).
Fórmula do módulo no plano:
Substituindo os valores:
Cálculo numérico aproximado:
Passo 8
Cálculo da orientação do vetor resultante.
Usamos o ângulo
medido a partir do eixo
positivo (leste) em direção ao eixo
positivo (norte), dado por
Substituindo:
Interpretação no mesmo estilo do enunciado: o vetor resultante aponta
do leste para o norte (ou seja,
ao norte do leste).
Passo 9
Resumo final e dica de prova (rápida):
- Sempre desenhe o esquema com os eixos, anote a direção do ângulo (a partir de qual eixo foi medido) e escolha a fórmula de decomposição adequada (seno/cosseno).
- Cheque sinais: componente sul é negativa em
, componente oeste seria negativa em . - Mantenha pelo menos 3–4 algarismos durante os cálculos e só arredonde no final.
Resposta
(a)
m
m
m
(b)
m
(c)
, orientação
do leste para o norte