(10,0 pontos) Uma pessoa realiza tres deslocamentos sucessivos conforme listado abaixo:
A: 72.4 m , na orientação 32.0^{*} do norte para o leste
\vec{B}: 57,3 \mathrm{~m}, na orientação 36,0^{\circ} do ceste para o sul
\vec{C} : 17,8 \mathrm{~m} diretamente do norte para o sul
Considere o eixo horizontal x orientado de ceste para leste e o eixo vertical y orientado do sul para norte.
(a) Escreva os vetores deslocamento \vec{A}, \vec{B} e \vec{C} em função dos vetores unitarios i, j e \hat{k}
(b) Calcule o vetor deslocamento resultante e o apresente em funçåo dos vetores unitarios \hat{i}, j e k
(c) Calcule o módulo e a orientação do vetor deslocamento resultante.

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos e pede (a) escrever cada vetor em componentes cartesianas, (b) calcular o deslocamento resultante em componentes, e (c) calcular módulo e orientação do resultante. Dados (vou repetir os dados exatamente como estão no enunciado):
  • Deslocamento \vec{A}: 72,4\\ \text{m}, orientação 32,0^\circ do norte para o leste.
  • Deslocamento \vec{B}: 57,3\\ \text{m}, orientação 36,0^\circ do leste para o sul.
  • Deslocamento \vec{C}: 17,8\\ \text{m}, diretamente do norte para o sul.
Eixos (dados pelo enunciado): eixo horizontal x orientado de oeste para leste (ou seja, positivo para leste) e eixo vertical y orientado do sul para o norte (ou seja, positivo para norte). As componentes deverão ser expressas em função dos vetores unitários \hat{i} (leste), \hat{j} (norte) e \hat{k}.

Passo 2

Como decompor um vetor em componentes (aula rápida e direta):
  • Se você tem um vetor de magnitude R e um ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo (leste), então as componentes são
R_x = R\cos\theta,\qquad R_y = R\sin\theta.
Aqui precisamos ter cuidado porque os ângulos do enunciado são dados relativamente ao norte ou ao leste em direções específicas. Para os casos deste problema, usamos as regras:
  • Para um ângulo \alpha dado “do norte para o leste” (ou seja, partir do eixo y positivo girando em direção a x positivo): x = R\sin\alpha,\qquad y = R\cos\alpha.(Porque a componente ao longo de y usa o cosseno do ângulo a partir do norte, e a componente ao longo de x usa o seno.)
  • Para um ângulo \beta dado “do leste para o sul” (ou seja, partir do eixo x positivo girando em direção ao eixo negativo y): x = R\cos\beta,\qquad y = -R\sin\beta.(O sinal negativo em y aparece porque o vetor tem componente para o sul, que é direção negativa de y.)
  • Para um deslocamento “diretamente do norte para o sul” significa vetor apontando para o sul: x=0, y=-R.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos três vetores.

Passo 3

Decomposição do vetor \vec{A}.
Dados: R_A=72,4\\ \text{m} e ângulo \alpha=32,0^\circ do norte para o leste. Pela regra do passo anterior:
A_x = R_A\sin\alpha,\qquad A_y = R_A\cos\alpha.
Calculos trigonométricos (valores aproximados usados): \sin32,0^\circ\approx 0,529919 e \cos32,0^\circ\approx 0,848048.
Agora multiplicamos:
A_x = 72,4\cdot 0,529919 \approx 38,37\\ \text{m},
A_y = 72,4\cdot 0,848048 \approx 61,40\\ \text{m}.
Como os deslocamentos são no plano horizontal, a componente em \hat{k} é zero:
\vec{A} \approx 38,37\,\hat{i} + 61,40\,\hat{j} + 0\,\hat{k}\\ \text{(m)}.

Passo 4

Decomposição do vetor \vec{B}.
Dados: R_B=57,3\\ \text{m} e ângulo \beta=36,0^\circ do leste para o sul. Pela regra do passo 2:
B_x = R_B\cos\beta,\qquad B_y = -R_B\sin\beta.
Valores trigonométricos: \cos36,0^\circ\approx 0,809017 e \sin36,0^\circ\approx 0,587785.
Multiplicando:
B_x = 57,3\cdot 0,809017 \approx 46,36\\ \text{m},
B_y = -57,3\cdot 0,587785 \approx -33,68\\ \text{m}.
Componente \hat{k} é zero:
\vec{B} \approx 46,36\,\hat{i} - 33,68\,\hat{j} + 0\,\hat{k}\\ \text{(m)}.

Passo 5

Decomposição do vetor \vec{C}.
Dados: R_C=17,8\\ \text{m}, diretamente do norte para o sul, ou seja, aponta para o sul. Logo:
C_x = 0,\qquad C_y = -17,8,\qquad C_z=0.
Portanto
\vec{C} = 0\,\hat{i} - 17,8\,\hat{j} + 0\,\hat{k}\\ \text{(m)}.

Passo 6

Soma das componentes para obter o vetor deslocamento resultante \vec{R}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}.
Somando componente a componente:
R_x = A_x + B_x + C_x \approx 38,37 + 46,36 + 0 = 84,73\\ \text{m}.
(Arredondei para duas casas decimais; cálculo exato intermediário deu 84,7218\\ \text{m}, que arredondamos para 84,72 ou 84,73; vou manter 84,72 para consistência com soma exata abaixo.)
R_y = A_y + B_y + C_y \approx 61,40 - 33,68 - 17,8 = 9,92\\ \text{m}.
(Intermediário exato: 9,9186\\ \text{m}, arredondado para 9,92\\ \text{m}.)
Componente vertical nula:
R_z = 0.
Logo
\vec{R} \approx 84,72\,\hat{i} + 9,92\,\hat{j} + 0\,\hat{k}\\ \text{(m)}.

Passo 7

Cálculo do módulo do vetor resultante (fórmula e aplicação).
Fórmula do módulo no plano:
|\vec{R}| = \sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
Substituindo os valores:
|\vec{R}| \approx \sqrt{(84,72)^{2} + (9,92)^{2}}.
Cálculo numérico aproximado:
(84,72)^{2}\approx 7177,78,\qquad (9,92)^{2}\approx 98,38,
|\vec{R}|\approx \sqrt{7177,78 + 98,38} = \sqrt{7276,16} \approx 85,29\\ \text{m}.

Passo 8

Cálculo da orientação do vetor resultante.
Usamos o ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo (leste) em direção ao eixo y positivo (norte), dado por
\theta = \arctan\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right).
Substituindo:
\theta \approx \arctan\!\left(\frac{9,92}{84,72}\right) \approx \arctan(0,1171)\approx 6,69^\circ.
Interpretação no mesmo estilo do enunciado: o vetor resultante aponta 6,69^\circ do leste para o norte (ou seja, 6,69^\circ ao norte do leste).

Passo 9

Resumo final e dica de prova (rápida):
  • Sempre desenhe o esquema com os eixos, anote a direção do ângulo (a partir de qual eixo foi medido) e escolha a fórmula de decomposição adequada (seno/cosseno).
  • Cheque sinais: componente sul é negativa em y, componente oeste seria negativa em x.
  • Mantenha pelo menos 3–4 algarismos durante os cálculos e só arredonde no final.

Resposta

(a) \vec{A} \approx 38,37\,\hat{i} + 61,40\,\hat{j} + 0\,\hat{k} m
\vec{B} \approx 46,36\,\hat{i} - 33,68\,\hat{j} + 0\,\hat{k} m
\vec{C} = 0\,\hat{i} - 17,8\,\hat{j} + 0\,\hat{k} m
(b) \vec{R} \approx 84,72\,\hat{i} + 9,92\,\hat{j} + 0\,\hat{k} m
(c) |\vec{R}|\approx 85,29\\ \text{m}, orientação \approx 6,69^\circ do leste para o norte

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