• A posição em que a haste metálica é colocada sobre a mesa giratória é importante para o cálculo do momento de inércia? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a posição da haste metálica sobre uma mesa giratória altera o cálculo do momento de inércia. Vamos usar a definição de momento de inércia
I = \int r^2\,\mathrm{d}m
e o Teorema dos Eixos Paralelos, que diz
I = I_{\text{cm}} + m\,d^2,
onde d é a distância entre o centro de massa da haste e o eixo de rotação.

Passo 2

Pela definição I = \int r^2\,\mathrm{d}m, cada elemento de massa contribui com r^2, sendo r a distância desse elemento ao eixo. Se a haste estiver com o seu centro de massa exatamente sobre o eixo, calculamos diretamente
I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}\,m\,L^2
para uma haste homogênea de comprimento L.
Note que, quando o eixo passa pelo centro de massa, a orientação da haste no plano não muda as distâncias r dos seus pedaços ao eixo: girar a haste numa mesa gira todos os pontos em torno do mesmo eixo perpendicular, mantendo \sqrt{x^2+y^2} igual. Logo, a orientação (ângulo no plano) não afeta o valor de I_{\text{cm}}.

Passo 3

Se deslocarmos a haste de modo que o eixo não passe pelo seu centro de massa, a distância d entre o CM e o eixo é diferente de zero. Aplicamos então
I = I_{\text{cm}} + m\,d^2
para levar em conta o acréscimo devido ao deslocamento.

Passo 4

Concluímos que a posição da haste em relação ao eixo—ou seja, o valor de d—é fundamental para calcular o momento de inércia. Já a orientação da haste em torno do eixo (girar dentro do mesmo plano) não altera I.

Resposta

A posição (distância entre o centro de massa da haste e o eixo) é importante, pois muda as distâncias r dos elementos de massa ao eixo e, portanto, altera I via o Teorema dos Eixos Paralelos. A orientação angular da haste no plano, entretanto, não afeta o momento de inércia quando o eixo é perpendicular à mesa.

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