A posição x(t), em metros, de um elétron que se move ao longo do eixo , é dada em função do tempo pela equação: adote : e \approx 2,71
x(t)=10 t \cdot e^{-0,5 t}
Com base nessa equação, responda:
(a) Determine a expressão da velocidade do elétron em função do tempo.
(b) Em que instante o elétron para momentaneamente?
(c) Qual é a distância da origem nesse instante?
(d) Após esse instante, o elétron passa a se afastar ou se aproximar da origem? Justifique sua resposta com base na análise da velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição do elétron ao longo do eixo x em função do tempo (em segundos):
x(t)=10\,t\,e^{-0,5 t}.
As perguntas são:
(a) Determinar a expressão da velocidade do elétron em função do tempo (ou seja, v(t)=\dfrac{dx}{dt}).
(b) Em que instante o elétron para momentaneamente (ou seja, achar t tal que v(t)=0).
(c) Qual é a distância da origem nesse instante (ou seja, calcular x(t) no t encontrado em (b)).
(d) Após esse instante, o elétron passa a se afastar ou se aproximar da origem? Justificar com base na análise da velocidade.
Informações relevantes: a função x(t) está definida para tempos t\ge 0. Foi pedido adotar e\approx 2,71 se for necessário avaliar numericamente.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do produto: para duas funções u(t) e v(t),
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)\,v(t)\bigr)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Isso significa que a derivada do produto é a soma: derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
  • Derivada da exponencial com função no expoente (regra da cadeia): se w(t)=e^{\varphi(t)}, então
\frac{d}{dt}e^{\varphi(t)}=\varphi'(t)\,e^{\varphi(t)}.
No nosso caso, \varphi(t)=-0,5t, então \varphi'(t)=-0,5.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao produto 10t e e^{-0,5t}.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt} usando a regra do produto com u(t)=10t e v(t)=e^{-0,5t}.
Primeiro, u'(t)=\dfrac{d}{dt}(10t)=10.
Segundo, usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}e^{-0,5t}=(-0,5)\,e^{-0,5t}.
Aplicando a regra do produto:
v(t)=\frac{dx}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=10\cdot e^{-0,5t}+10t\cdot\bigl((-0,5)\,e^{-0,5t}\bigr).
Fatorando e^{-0,5t}:
v(t)=e^{-0,5t}\bigl(10-5t\bigr).
Essa é a expressão final da velocidade em função do tempo. Observação: e^{-0,5t} é sempre positiva para todo t, então o sinal de v(t) depende somente do fator 10-5t.

Passo 4

Encontrar o instante em que o elétron para momentaneamente: resolver v(t)=0.
v(t)=e^{-0,5t}\bigl(10-5t\bigr)=0.
Como e^{-0,5t}\neq 0 para todo t, segue que
10-5t=0\quad\Rightarrow\quad 5t=10\quad\Rightarrow\quad t=2\\ \text{s}.
Logo, o elétron para momentaneamente em t=2\\ \text{s}.

Passo 5

Calcular a distância da origem nesse instante: avaliar x(2).
x(2)=10\cdot 2\cdot e^{-0,5\cdot 2}=20\cdot e^{-1}=\frac{20}{e}.
Usando e\approx 2,71 para valor numérico:
x(2)\approx\frac{20}{2,71}\approx 7,38\\ \text{m}.
Portanto a distância da origem no instante em que ele para é \dfrac{20}{e}\approx 7,38\\ \text{m}.

Passo 6

Analisar se, após t=2\\ \text{s}, o elétron se afasta ou se aproxima da origem com base em v(t).
Temos a expressão
v(t)=e^{-0,5t}\bigl(10-5t\bigr).
Para t>2 vem 10-5t<0, e como e^{-0,5t}>0, então v(t)<0 para todo t>2. Velocidade negativa significa que x(t) está diminuindo (movimento no sentido negativo do eixo x). Como em t=2 temos x(2)>0, um v(t)<0 implica que o elétron está se aproximando da origem (o valor de x positivo está diminuindo). Além disso, nota-se que x(t)>0 para todo t>0 e \lim_{t\to\infty}x(t)=0, então o elétron tende assimptoticamente para a origem sem cruzá-la (apenas se aproxima).

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=e^{-0,5t}\bigl(10-5t\bigr).
(b) t=2\\ \text{s}.
(c) \displaystyle x(2)=\frac{20}{e}\approx 7,38\\ \text{m}.
(d) O elétron passa a se aproximar da origem, porque para t>2 tem v(t)<0 (já que 10-5t<0 e e^{-0,5t}>0).

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