A posição
, em metros, de um elétron que se move ao longo do eixo , é dada em função do tempo pela equação: adote
Com base nessa equação, responda:
(a) Determine a expressão da velocidade do elétron em função do tempo.
(b) Em que instante o elétron para momentaneamente?
(c) Qual é a distância da origem nesse instante?
(d) Após esse instante, o elétron passa a se afastar ou se aproximar da origem? Justifique sua resposta com base na análise da velocidade.
(a) Determine a expressão da velocidade do elétron em função do tempo.
(b) Em que instante o elétron para momentaneamente?
(c) Qual é a distância da origem nesse instante?
(d) Após esse instante, o elétron passa a se afastar ou se aproximar da origem? Justifique sua resposta com base na análise da velocidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a posição do elétron ao longo do eixo
em função do tempo (em segundos):
As perguntas são:
(a) Determinar a expressão da velocidade do elétron em função do tempo (ou seja, ).
(b) Em que instante o elétron para momentaneamente (ou seja, achar tal que
).
(c) Qual é a distância da origem nesse instante (ou seja, calcular no
encontrado em (b)).
(d) Após esse instante, o elétron passa a se afastar ou se aproximar da origem? Justificar com base na análise da velocidade.
(a) Determinar a expressão da velocidade do elétron em função do tempo (ou seja,
(b) Em que instante o elétron para momentaneamente (ou seja, achar
(c) Qual é a distância da origem nesse instante (ou seja, calcular
(d) Após esse instante, o elétron passa a se afastar ou se aproximar da origem? Justificar com base na análise da velocidade.
Informações relevantes: a função
está definida para tempos
. Foi pedido adotar
se for necessário avaliar numericamente.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
- Regra do produto: para duas funções
e ,
Isso significa que a derivada do produto é a soma: derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
- Derivada da exponencial com função no expoente (regra da cadeia): se
, então
No nosso caso,
, então
.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao produto
e
.
Passo 3
Calcular a velocidade
usando a regra do produto com
e
.
Primeiro,
.
Segundo, usando a regra da cadeia,
Segundo, usando a regra da cadeia,
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Essa é a expressão final da velocidade em função do tempo. Observação:
é sempre positiva para todo
, então o sinal de
depende somente do fator
.
Passo 4
Encontrar o instante em que o elétron para momentaneamente: resolver
.
Como
para todo
, segue que
Logo, o elétron para momentaneamente em
.
Passo 5
Calcular a distância da origem nesse instante: avaliar
.
Usando
para valor numérico:
Portanto a distância da origem no instante em que ele para é
.
Passo 6
Analisar se, após
, o elétron se afasta ou se aproxima da origem com base em
.
Temos a expressão
Para
vem
, e como
, então
para todo
. Velocidade negativa significa que
está diminuindo (movimento no sentido negativo do eixo
). Como em
temos
, um
implica que o elétron está se aproximando da origem (o valor de
positivo está diminuindo). Além disso, nota-se que
para todo
e
, então o elétron tende assimptoticamente para a origem sem cruzá-la (apenas se aproxima).
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) O elétron passa a se aproximar da origem, porque para tem
(já que
e
).
(b)
(c)
(d) O elétron passa a se aproximar da origem, porque para