A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=3 t^{4}-4, onde x está em metros e t em segundos. Determine:
(a) a posição do objeto em 1 s
(b) a posição do objeto em 5 s
(c) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t=2 s a t=4 s ? E a aceleração no mesmo intervalo de tempo?

Passo 1

O enunciado dá a função posição
x(t)=3\,t^{4}-4
com x em metros e t em segundos, e pede:
(a) x em t=1 s;
(b) x em t=5 s;
(c) a velocidade média e a aceleração média no intervalo de t=2 s a t=4 s.
Vamos usar avaliação direta da função para (a) e (b), depois a definição de velocidade média
v_{\text{m}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}
e a aceleração média
a_{\text{m}}=\frac{\Delta v}{\Delta t},
onde v(t)=\frac{dx}{dt}.

Passo 2

Calcular a posição em t=1 s aplicando t=1 na função:
x(1)=3\cdot1^{4}-4=3-4=-1.
Portanto, em 1 s a posição é -1 m.

Passo 3

Calcular a posição em t=5 s aplicando t=5 na função:
x(5)=3\cdot5^{4}-4=3\cdot625-4=1875-4=1871.
Logo, em 5 s a posição é 1871 m.

Passo 4

Para a velocidade média de t=2 s a t=4 s, primeiro as posições:
x(2)=3\cdot2^{4}-4=3\cdot16-4=48-4=44,
x(4)=3\cdot4^{4}-4=3\cdot256-4=768-4=764.
Então
v_{\text{m}}=\frac{x(4)-x(2)}{4-2}=\frac{764-44}{2}=\frac{720}{2}=360\\ \text{m/s}.

Passo 5

A velocidade instantânea é
v(t)=\frac{dx}{dt}=12\,t^{3},
e a aceleração instantânea é
a(t)=\frac{dv}{dt}=36\,t^{2}.
Para a aceleração média em 2\le t\le4, usamos
v(2)=12\cdot2^{3}=96,
v(4)=12\cdot4^{3}=768,
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a_{\text{m}}=\frac{v(4)-v(2)}{4-2}=\frac{768-96}{2}=\frac{672}{2}=336\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

(a) -1 m
(b) 1871 m
(c) v_{\text{m}}=360 m/s e a_{\text{m}}=336 m/ s^{2}

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