Dadas as 6 cordas de um violão afinado.
a) Pesquise as frequências do 10 harmônico para cada corda.
b) Calcule o comprimento de onda para o 10 harmônico de cada corda
c) Calcule a velocidade em cada corda
d) Se pressionarmos a 12^{\underline{a}} casa da corda mais fina (mais aguda) \operatorname{com} f=330 \mathrm{~Hz} qual será a frequência medida?
e) Dada a corda mais fina do violão feita de aço de densidade \rho=7860 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e diâmetro 0,25 mm. Calcule a tração na corda afinada.
f) Por que entre dois violões o som é ligeiramente diferente se as cordas são as mesmas?

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com harmônicos de cordas de violão afinado, cálculo de comprimento de onda, velocidade de propagação, efeito de pressionar o 12º traste, tensão na corda mais fina e timbre. Vamos usar: teoricamente a frequência do n-ésimo harmônico é
f_n = n\,f_1,
o comprimento de onda do n-ésimo harmônico é
\lambda_n = \frac{2L}{n},
e a velocidade de onda é
v = f_n\,\lambda_n = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.

Passo 2

Primeiro, listamos as frequências fundamentais padrão das 6 cordas abertas de um violão (de baixo para cima) e calculamos o 10º harmônico:
\begin{aligned} \text{6ª corda (Mi grave)}&:\;f_1=82{,}41\text{ Hz}\quad\Rightarrow\quad f_{10}=10\cdot82{,}41=824{,}1\text{ Hz},\\\ \text{5ª corda (Lá)}&:\;f_1=110{,}00\text{ Hz}\quad\Rightarrow\quad f_{10}=10\cdot110{,}00=1100{,}0\text{ Hz},\\\ \text{4ª corda (Ré)}&:\;f_1=146{,}83\text{ Hz}\quad\Rightarrow\quad f_{10}=10\cdot146{,}83=1468{,}3\text{ Hz},\\\ \text{3ª corda (Sol)}&:\;f_1=196{,}00\text{ Hz}\quad\Rightarrow\quad f_{10}=10\cdot196{,}00=1960{,}0\text{ Hz},\\\ \text{2ª corda (Si)}&:\;f_1=246{,}94\text{ Hz}\quad\Rightarrow\quad f_{10}=10\cdot246{,}94=2469{,}4\text{ Hz},\\\ \text{1ª corda (Mi agudo)}&:\;f_1=329{,}63\text{ Hz}\quad\Rightarrow\quad f_{10}=10\cdot329{,}63=3296{,}3\text{ Hz}. \end{aligned}ªªáªéªªª

Passo 3

Assumindo comprimento escala L=0{,}65\text{ m} (valor típico), o comprimento de onda do 10º harmônico vale para todas as cordas:
\lambda_{10} = \frac{2L}{10} = \frac{2\cdot0{,}65}{10} = 0{,}13\text{ m}.

Passo 4

A velocidade de onda em cada corda é
v_i = f_{10,i}\,\lambda_{10}.
Calculando:
\begin{aligned} v_6&=824{,}1\cdot0{,}13=107{,}13\text{ m/s},\\\ v_5&=1100{,}0\cdot0{,}13=143{,}0\text{ m/s},\\\ v_4&=1468{,}3\cdot0{,}13=190{,}88\text{ m/s},\\\ v_3&=1960{,}0\cdot0{,}13=254{,}8\text{ m/s},\\\ v_2&=2469{,}4\cdot0{,}13=321{,}0\text{ m/s},\\\ v_1&=3296{,}3\cdot0{,}13=428{,}5\text{ m/s}. \end{aligned}

Passo 5

Ao pressionar o 12º traste da 1ª corda (Mi agudo) a nova região vibrante tem metade do comprimento, logo a frequência fundamental dobra:
f' = 2\cdot330 = 660\text{ Hz}.

Passo 6

Para a 1ª corda de aço com \rho=7860\text{ kg/m}^3 e diâmetro d=0{,}25\text{ mm}:
r=\frac{d}{2}=0{,}125\times10^{-3}\text{ m},\quad A=\pi r^2= \pi(0{,}125\times10^{-3})^2\approx4{,}91\times10^{-8}\text{ m}^2,
\mu=\rho A=7860\cdot4{,}91\times10^{-8}\approx3{,}86\times10^{-4}\text{ kg/m}.
Velocidade fundamental obtida em Passo 4 para f_1=330\text{ Hz} e L=0{,}65\text{ m}:
v_1 = 2Lf_1 = 2\cdot0{,}65\cdot330 = 429\text{ m/s}.
A tensão é
T = \mu v_1^2 = 3{,}86\times10^{-4}\,(429)^2\approx71{,}0\text{ N}.

Passo 7

O timbre varia de um violão a outro apesar de usarem as mesmas cordas porque a madeira, o formato do corpo, o acabamento, a tensão exata e pequenas diferenças na densidade e na fabricação das cordas alteram as ressonâncias e a composição harmônica do som.

Resposta

(a) 6ª: 824{,}1 Hz; 5ª: 1100{,}0 Hz; 4ª: 1468{,}3 Hz; 3ª: 1960{,}0 Hz; 2ª: 2469{,}4 Hz; 1ª: 3296{,}3 Hz.
(b) Para todas: \lambda_{10}=0{,}13 m.
(c) v_6=107{,}1 m/s, v_5=143{,}0 m/s, v_4=190{,}9 m/s, v_3=254{,}8 m/s, v_2=321{,}0 m/s, v_1=428{,}5 m/s.
(d) 660 Hz.
(e) T\approx71{,}0 N.
(f) Porque as características do violão (madeira, forma, dimensões, tensão exata e pequenas variações nas cordas) mudam as ressonâncias e o timbre.

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