A posição de um objeto em movimento circular é modelada pelas equações paramétricas fornecidas, nas quais t é medido em segundos. Quanto tempo é necessário para completar uma volta? O movimento ocorre no sentido horário ou anti-horário?
x=3 sen(pi4 t), y=3 cos (pi4 t)

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas de um movimento circular de raio 3:
x(t)=3senl(tfracpi4tr), y(t)=3cosl(tfracpi4tr)
Pede-se o tempo para completar uma volta completa e o sentido do movimento.

Passo 2

Para reconhecer o ângulo de fase, compare com a forma geral de um círculo:
x=Rsenphi, y=Rcosphi
Aqui R=3 e
phi(t)=pi4,t

Passo 3

Uma volta completa corresponde a phi aumentando em 2pi. Logo o período T satisfaz
phi(T)-phi(0)=pi4T=2pi Longrightarrow T=2pipi/4=8 s

Passo 4

Para determinar o sentido, avalie a velocidade em t=0:
dot x(t)=3cdotpi4cos!l(tfracpi4tr), dot y(t)=-3cdotpi4sin!l(tfracpi4tr)
Em t=0 temos dot x(0)=tfrac3pi4>0 e dot y(0)=0, ou seja, parte-se do ponto (0,3) movendo-se para a direita. Isso corresponde a um movimento no sentido horário.

Resposta

Tempo para uma volta: 8 segundos.
Sentido do movimento: horário.

Exercícios relacionados