Verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado
X^prime=(ccc1 & 2 & 3 -4 & 2 & 0 -6 & 1 & 0) X+(c-1 4 3) sen(3 t), com Xp=(csen(3 t) 0 cos (3 t))

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema não homogêneo
X' = A,X + b,sin(3t),
onde
A = 1 & 2 & 3 -4 & 2 & 0 -6 & 1 & 0 , b = -143,
e propõe a solução particular
Xp(t) = sin(3t)0cos(3t)
Para verificar que Xp é solução particular, vamos calcular Xp' e mostrar que
Xp' = A,Xp + b,sin(3t)

Passo 2

Calculamos a derivada de Xp. Como
Xp(t)=sin(3t)0cos(3t),
temos
Xp'(t)=3cos(3t)0-3sin(3t)

Passo 3

Agora avaliamos A,Xp.
A,Xp = 1 & 2 & 3 -4 & 2 & 0 -6 & 1 & 0 sin(3t)0cos(3t) = sin(3t)+3cos(3t) -4sin(3t) -6sin(3t)

Passo 4

Somamos a contribuição do termo não homogêneo b,sin(3t).
A,Xp + b,sin(3t) = sin(3t)+3cos(3t) -4sin(3t) -6sin(3t) + -143sin(3t) = (sin(3t)-sin(3t))+3cos(3t) (-4sin(3t)+4sin(3t)) (-6sin(3t)+3sin(3t)) = 3cos(3t) 0 -3sin(3t)

Passo 5

Observamos que
A,Xp + b,sin(3t) = 3cos(3t)0-3sin(3t) = Xp'(t)
Como a derivada de Xp coincide com A,Xp + b,sin(3t), concluímos que Xp é de fato uma solução particular do sistema.

Resposta

Xp(t)=sin(3t)0cos(3t) é solução particular, pois satisfaz
Xp' = A,Xp + b,sin(3t)

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