7{ }^{\text {a }} Questão

Uma carga puntiforme de 190 \mu \mathrm{C} está no centro de um cubo cuja aresta tem 0,95 \mathrm{~m}. (a) Encontre o fluxo através de cada uma das faces do cubo. (b) Encontre o fluxo através de toda a superfície do cubo. (c) Suas respostas aos itens (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
\text{Carga: } Q = 190\\ \mu\mathrm{C}
\text{Aresta do cubo: } a = 0{,}95\\ \mathrm{m}
Perguntas do enunciado:
(a) Encontre o fluxo através de cada uma das faces do cubo.
(b) Encontre o fluxo através de toda a superfície do cubo.
(c) As respostas de (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Explique.
Observação: aqui eu apenas listei o que o enunciado dá e o que pede. Ainda não comecei a resolver.

Passo 2

O que é fluxo elétrico? Vou te explicar devagar e com jeitinho de amigo.
O fluxo elétrico através de uma superfície mede quantas linhas de campo elétrico atravessam essa superfície. A definição matemática é:
\Phi = \iint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{A}
onde:
  • \Phi é o fluxo elétrico através da superfície S;
  • \vec{E} é o campo elétrico em cada ponto da superfície;
  • d\vec{A} é o vetor de área (magnitude igual à área infinitesimal, direção normal à superfície, sentido escolhido).
Intuitivamente: \vec{E}\cdot d\vec{A} conta a componente do campo que atravessa aquela pequena porção de área; somando tudo (a integral) obtemos o fluxo total.

Passo 3

Agora a regra poderosa que vamos usar: a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada vale a carga total encerrada dividida pela permissividade do vácuo. Em fórmula:
\oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
onde:
  • \oint_{S} indica integral sobre a superfície fechada S;
  • Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície;
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo, cujo valor numérico vale aproximadamente \varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
Comentários didáticos: essa lei é geral e não exige conhecer o campo em cada ponto para obter o fluxo total — basta saber a carga que está dentro do fecho. Legal, né? Isso simplifica muito.

Passo 4

Aplicando Gauss ao nosso cubo: se a carga Q está no interior do cubo, então o fluxo total através da superfície fechada do cubo é
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isso responde diretamente a (b) em forma simbólica. Mas calma: ainda vamos calcular numericamente.

Passo 5

Por que o fluxo através de cada face (item (a)) pode ser obtido dividindo por 6? Aqui entra o raciocínio por simetria.
Se a carga pontual está exatamente no centro do cubo, todas as seis faces são geometrica e eletrostaticamente equivalentes: cada face “vê” a mesma distribuição de linhas de campo por causa da simetria do cubo em torno do centro. Logo, o fluxo total se reparte igualmente entre as seis faces. Assim:
\Phi_{\text{por face}} = \frac{\Phi_{\text{total}}}{6} = \frac{Q}{6\varepsilon_0}.
Explicação em palavras: deslocar-se ao longo de qualquer rotação que troca faces do cubo deixa o conjunto inalterado se a carga está no centro; por isso cada face recebe a mesma fração do fluxo.

Passo 6

Agora vamos aos cálculos numéricos passo a passo (sem pular conta). Primeiro converter a carga para coulombs:
Q = 190\\ \mu\mathrm{C} = 190\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 1{,}90\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Usando \varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}, o fluxo total é
\Phi_{\text{total}} = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{1{,}90\times10^{-4}}{8{,}854\times10^{-12}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Agora dividimos os números: primeiro a potência de dez
10^{-4}/10^{-12} = 10^{8}.
Depois a razão dos coeficientes:
\frac{1{,}90}{8{,}854}\approx 0{,}2146.
Multiplicando:
\Phi_{\text{total}}\approx 0{,}2146\times10^{8}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C} = 2{,}146\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\Phi_{\text{total}}\approx 2{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 7

Fluxo por face (dividindo por 6):
\Phi_{\text{por face}} = \frac{\Phi_{\text{total}}}{6} \approx \frac{2{,}146\times10^{7}}{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Fazendo a divisão:
\Phi_{\text{por face}}\approx 3{,}577\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Arredondando a três algarismos significativos:
\Phi_{\text{por face}}\approx 3{,}58\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 8

Resposta à parte (c) — explicação conceitual e exemplos para fixar a ideia:
  • Se a carga ainda estiver dentro do cubo, mas não no centro, a Lei de Gauss garante que o fluxo total através de toda a superfície fechada do cubo continua sendo
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_0},
ou seja, o valor de (b) não muda desde que a carga permaneça dentro. Isso acontece porque a lei depende apenas da carga encerrada, não de onde ela está dentro. \n
  • Porém, o fluxo através de cada face (item (a)) muda se a carga não estiver no centro: a simetria é quebrada, então faces mais próximas à carga recebem mais linhas de campo (maior fluxo) e faces mais distantes recebem menos. Portanto a resposta de (a) mudaria. \n
  • Complemento importante: se a carga for colocada fora do cubo, então Q_{\text{int}}=0 (a carga não está mais dentro), e o fluxo total através do cubo seria zero. Então tanto (a) quanto (b) mudariam nesse caso (b passaria a ser zero, e (a) também porque cada face teria fluxos que somam zero).

Resposta

(a) \Phi_{\text{por face}}=\dfrac{Q}{6\varepsilon_0}\approx 3{,}58\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}
(b) \Phi_{\text{total}}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\approx 2{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}
(c) A resposta de (b) não muda se a carga for deslocada dentro do cubo (continua \dfrac{Q}{\varepsilon_0}); já a resposta de (a) muda se a carga não estiver no centro (as faces deixam de receber fluxos iguais).

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