Questão
Uma carga puntiforme de
está no centro de um cubo cuja aresta tem
. (a) Encontre o fluxo através de cada uma das faces do cubo. (b) Encontre o fluxo através de toda a superfície do cubo. (c) Suas respostas aos itens (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Explique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
Perguntas do enunciado:
(a) Encontre o fluxo através de cada uma das faces do cubo.
(b) Encontre o fluxo através de toda a superfície do cubo.
(c) As respostas de (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Explique.
(a) Encontre o fluxo através de cada uma das faces do cubo.
(b) Encontre o fluxo através de toda a superfície do cubo.
(c) As respostas de (a) ou (b) mudariam se a carga não estivesse no centro? Explique.
Observação: aqui eu apenas listei o que o enunciado dá e o que pede. Ainda não comecei a resolver.
Passo 2
O que é fluxo elétrico? Vou te explicar devagar e com jeitinho de amigo.
O fluxo elétrico através de uma superfície mede quantas linhas de campo elétrico atravessam essa superfície. A definição matemática é:
O fluxo elétrico através de uma superfície mede quantas linhas de campo elétrico atravessam essa superfície. A definição matemática é:
onde:
-
é o fluxo elétrico através da superfície ; -
é o campo elétrico em cada ponto da superfície; -
é o vetor de área (magnitude igual à área infinitesimal, direção normal à superfície, sentido escolhido).
Intuitivamente:
conta a componente do campo que atravessa aquela pequena porção de área; somando tudo (a integral) obtemos o fluxo total.
Passo 3
Agora a regra poderosa que vamos usar: a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada vale a carga total encerrada dividida pela permissividade do vácuo. Em fórmula:
onde:
-
indica integral sobre a superfície fechada ; -
é a carga total dentro da superfície; -
é a permissividade elétrica do vácuo, cujo valor numérico vale aproximadamente .
Comentários didáticos: essa lei é geral e não exige conhecer o campo em cada ponto para obter o fluxo total — basta saber a carga que está dentro do fecho. Legal, né? Isso simplifica muito.
Passo 4
Aplicando Gauss ao nosso cubo: se a carga
está no interior do cubo, então o fluxo total através da superfície fechada do cubo é
Isso responde diretamente a (b) em forma simbólica. Mas calma: ainda vamos calcular numericamente.
Passo 5
Por que o fluxo através de cada face (item (a)) pode ser obtido dividindo por 6? Aqui entra o raciocínio por simetria.
Se a carga pontual está exatamente no centro do cubo, todas as seis faces são geometrica e eletrostaticamente equivalentes: cada face “vê” a mesma distribuição de linhas de campo por causa da simetria do cubo em torno do centro. Logo, o fluxo total se reparte igualmente entre as seis faces. Assim:
Se a carga pontual está exatamente no centro do cubo, todas as seis faces são geometrica e eletrostaticamente equivalentes: cada face “vê” a mesma distribuição de linhas de campo por causa da simetria do cubo em torno do centro. Logo, o fluxo total se reparte igualmente entre as seis faces. Assim:
Explicação em palavras: deslocar-se ao longo de qualquer rotação que troca faces do cubo deixa o conjunto inalterado se a carga está no centro; por isso cada face recebe a mesma fração do fluxo.
Passo 6
Agora vamos aos cálculos numéricos passo a passo (sem pular conta). Primeiro converter a carga para coulombs:
Usando
, o fluxo total é
Agora dividimos os números: primeiro a potência de dez
Depois a razão dos coeficientes:
Multiplicando:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Fluxo por face (dividindo por
):
Fazendo a divisão:
Arredondando a três algarismos significativos:
Passo 8
Resposta à parte (c) — explicação conceitual e exemplos para fixar a ideia:
- Se a carga ainda estiver dentro do cubo, mas não no centro, a Lei de Gauss garante que o fluxo total através de toda a superfície fechada do cubo continua sendo
ou seja, o valor de (b) não muda desde que a carga permaneça dentro. Isso acontece porque a lei depende apenas da carga encerrada, não de onde ela está dentro. \n
- Porém, o fluxo através de cada face (item (a)) muda se a carga não estiver no centro: a simetria é quebrada, então faces mais próximas à carga recebem mais linhas de campo (maior fluxo) e faces mais distantes recebem menos. Portanto a resposta de (a) mudaria. \n
- Complemento importante: se a carga for colocada fora do cubo, então
(a carga não está mais dentro), e o fluxo total através do cubo seria zero. Então tanto (a) quanto (b) mudariam nesse caso (b passaria a ser zero, e (a) também porque cada face teria fluxos que somam zero).
Resposta
(a)
(b)
(c) A resposta de (b) não muda se a carga for deslocada dentro do cubo (continua ); já a resposta de (a) muda se a carga não estiver no centro (as faces deixam de receber fluxos iguais).
(b)
(c) A resposta de (b) não muda se a carga for deslocada dentro do cubo (continua