9{ }^{\text {a }} Questão

Um cilindro infinitamente longo com raio a tem uma densidade de carga que é proporcional à distância ao eixo, \rho=\delta r, onde \delta é uma constante. Mostre que o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro ( r<a ) é dado pela expressão,
\vec{E}=\frac{1}{3 \epsilon_{0}} \delta r^{2} \widehat{r}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dada um cilindro infinitamente longo de raio a.
  • A densidade de carga volumétrica é proporcional à distância ao eixo: \rho=\delta r, onde \delta é uma constante (assumimos \delta fixa e conhecida).
  • Queremos o campo elétrico \vec{E} a uma distância r do eixo do cilindro, no caso r<a (ou seja, dentro do cilindro).
Pergunta do enunciado: determinar \vec{E} para r<a.

Passo 2

Observação sobre a simetria e escolha da superfície de Gauss (a escolha que vai facilitar tudo):
  • O cilindro é infinito e a distribuição de carga depende só da distância radial r. Por simetria, o campo elétrico resultante só pode apontar radialmente (nem depende de ângulo \varphi nem de z) e seu módulo só depende de r. Isso justifica que \vec{E}=E(r)\,\widehat{r}.
  • Para explorar essa simetria escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica coaxial de raio r (com r<a) e comprimento arbitrário L. Essa superfície tem área lateral 2\pi r L e duas tampas circulares, cada uma de área \pi r^{2}.
Explicação curta do porquê dessa escolha: numa superfície cilíndrica coaxial, em toda a área lateral o vetor \vec{E} é paralelo à normal à superfície e tem mesmo módulo E(r). Nas tampas, a normal é na direção \pm \widehat{z}, ortogonal a \widehat{r}, então o fluxo por elas será nulo. Assim a integral de fluxo fica simples.

Passo 3

Apresentando a Lei de Gauss (fórmula e o que cada coisa significa):
A Lei de Gauss em forma integral diz:
\oint_{\text{superf}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.
Onde:
  • \oint_{\text{superf}} \vec{E}\cdot d\vec{A} é o fluxo elétrico total através da superfície fechada escolhida (produto escalar entre \vec{E} e o vetor área elementar d\vec{A}).
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície de Gauss.
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante).
    Vou usar essa fórmula aplicando-a à superfície cilíndrica escolhida.

Passo 4

Cálculo do fluxo elétrico pela superfície de Gauss:
  • Pela simetria, na superfície lateral \vec{E} é paralelo a d\vec{A} e tem módulo E(r) constante sobre essa superfície. Então o fluxo pela lateral é
\Phi_{\text{lateral}}=E(r)\times (\text{área lateral})=E(r)\cdot(2\pi r L).á
  • Nas duas tampas circulares \vec{E} é ortogonal à normal (pois \vec{E} é radial e as tampas têm norma \pm\widehat{z}), logo o fluxo por cada tampa é zero:
\Phi_{\text{tampas}}=0.
  • Assim o fluxo total pela superfície fechada é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\,2\pi r L.

Passo 5

Cálculo da carga total Q_{\text{int}} dentro do cilindro de raio r e comprimento L:
Devemos integrar a densidade volumétrica \rho=\delta r sobre o volume interno ao raio r. Usa-se coordenadas cilíndricas. Para evitar confusão entre a coordenada radial de integração e o raio onde se quer o campo, chamo a variável de integração radial de r'.
  • Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: dV = r'\,dr'\,d\varphi\,dz. Aqui r' é a variável radial de integração, \varphi é o ângulo e z é o eixo do cilindro.
  • A densidade em cada ponto é \rho(r')=\delta r'.
  • Então a carga elementar é \rho\,dV=\delta r'\cdot r'\,dr'\,d\varphi\,dz=\delta r'^{2}\,dr'\,d\varphi\,dz.
Integramos sobre r' de 0 a r, sobre \varphi de 0 a 2\pi, e sobre z de 0 a L:
Q_{\text{int}}=\int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \delta r'^{2}\,dr'\,d\varphi\,dz.
Vamos calcular a integral passo a passo:
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
  • Integral em z:
\int_{0}^{L} dz = L.
  • Integral em r':
\int_{0}^{r} \delta r'^{2}\,dr' = \delta \left[\frac{r'^{3}}{3}\right]_{0}^{r} = \delta \frac{r^{3}}{3}.
Multiplicando tudo:
Q_{\text{int}} = (L)\,(2\pi)\,\left(\delta \frac{r^{3}}{3}\right) = \frac{2\pi L \delta r^{3}}{3}.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss e resolvendo para E(r):
A Lei de Gauss dá
E(r)\,2\pi r L = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot \frac{2\pi L \delta r^{3}}{3}.
Agora simplificamos: tanto 2\pi quanto L aparecem em ambos os lados, então cancelam-se:
E(r)\,r = \frac{\delta r^{3}}{3\epsilon_{0}}.
Dividindo por r (lembrando que aqui r>0, para r=0 o campo é zero por simetria),
E(r)=\frac{\delta r^{2}}{3\epsilon_{0}}.
O vetor campo aponta radialmente para fora se \delta>0, logo
\vec{E}=\frac{\delta r^{2}}{3\epsilon_{0}}\,\widehat{r}.

Passo 7

Verificações rápidas e dica para prova:
  • Em r=0 obtemos E=0, o que é consistente (no centro o campo deve ser nulo por simetria).
  • Unidades: \delta tem unidade de carga/volume/distância (verificação: \rho=\delta r tem unidade de carga/volume, então \delta tem unidade de carga/volume/length), e o resultado final tem unidade de campo elétrico porque \epsilon_{0} corrige apropriadamente.
  • Dica prática para prova: escolha sempre uma altura L arbitrária na superfície de Gauss — quase sempre ela cancela no resultado, então não precisa escolher um valor numérico.

Resposta

\vec{E}=\dfrac{1}{3\epsilon_{0}}\,\delta r^{2}\,\widehat{r}

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