Questão
Um cilindro infinitamente longo com raio
tem uma densidade de carga que é proporcional à distância ao eixo,
, onde
é uma constante. Mostre que o campo elétrico a uma distância
do eixo do cilindro (
) é dado pela expressão,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dada um cilindro infinitamente longo de raio
. - A densidade de carga volumétrica é proporcional à distância ao eixo:
, onde é uma constante (assumimos fixa e conhecida). - Queremos o campo elétrico
a uma distância do eixo do cilindro, no caso (ou seja, dentro do cilindro).
Pergunta do enunciado: determinar
para
.
Passo 2
Observação sobre a simetria e escolha da superfície de Gauss (a escolha que vai facilitar tudo):
- O cilindro é infinito e a distribuição de carga depende só da distância radial
. Por simetria, o campo elétrico resultante só pode apontar radialmente (nem depende de ângulo nem de ) e seu módulo só depende de . Isso justifica que . - Para explorar essa simetria escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica coaxial de raio
(com ) e comprimento arbitrário . Essa superfície tem área lateral e duas tampas circulares, cada uma de área .
Explicação curta do porquê dessa escolha: numa superfície cilíndrica coaxial, em toda a área lateral o vetor
é paralelo à normal à superfície e tem mesmo módulo
. Nas tampas, a normal é na direção
, ortogonal a
, então o fluxo por elas será nulo. Assim a integral de fluxo fica simples.
Passo 3
Apresentando a Lei de Gauss (fórmula e o que cada coisa significa):
A Lei de Gauss em forma integral diz:
Onde:
-
é o fluxo elétrico total através da superfície fechada escolhida (produto escalar entre e o vetor área elementar ). -
é a carga total contida dentro da superfície de Gauss. -
é a permissividade do vácuo (constante).
Vou usar essa fórmula aplicando-a à superfície cilíndrica escolhida.
Passo 4
Cálculo do fluxo elétrico pela superfície de Gauss:
- Pela simetria, na superfície lateral
é paralelo a e tem módulo constante sobre essa superfície. Então o fluxo pela lateral é
- Nas duas tampas circulares
é ortogonal à normal (pois é radial e as tampas têm norma ), logo o fluxo por cada tampa é zero:
- Assim o fluxo total pela superfície fechada é
Passo 5
Cálculo da carga total
dentro do cilindro de raio
e comprimento
:
Devemos integrar a densidade volumétrica
sobre o volume interno ao raio
. Usa-se coordenadas cilíndricas. Para evitar confusão entre a coordenada radial de integração e o raio onde se quer o campo, chamo a variável de integração radial de
.
- Elemento de volume em coordenadas cilíndricas:
. Aqui é a variável radial de integração, é o ângulo e é o eixo do cilindro. - A densidade em cada ponto é
. - Então a carga elementar é
.
Integramos sobre
de
a
, sobre
de
a
, e sobre
de
a
:
Vamos calcular a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando tudo:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss e resolvendo para
:
A Lei de Gauss dá
Agora simplificamos: tanto
quanto
aparecem em ambos os lados, então cancelam-se:
Dividindo por
(lembrando que aqui
, para
o campo é zero por simetria),
O vetor campo aponta radialmente para fora se
, logo
Passo 7
Verificações rápidas e dica para prova:
- Em
obtemos , o que é consistente (no centro o campo deve ser nulo por simetria). - Unidades:
tem unidade de carga/volume/distância (verificação: tem unidade de carga/volume, então tem unidade de carga/volume/length), e o resultado final tem unidade de campo elétrico porque corrige apropriadamente. - Dica prática para prova: escolha sempre uma altura
arbitrária na superfície de Gauss — quase sempre ela cancela no resultado, então não precisa escolher um valor numérico.