- Considere a função vetorial
a) Determine
.
b) Determine
, para
.
b) Determine
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
As perguntas são:
- (a) Determinar
. - (b) Determinar
para .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é dada componente a componente (i, j, k).
- Está explícito que
na definição; entretanto a pergunta (a) pede o limite quando , ou seja, aproximando-se de zero (mesmo que a função não esteja definida em ). - Para responder (a) vamos calcular o limite de cada componente quando
. - Para responder (b) vamos derivar cada componente em função de
(derivada componente a componente).
Passo 2
Regra importante (explicação didática): o limite de uma função vetorial é feito componente a componente. Isso significa que
desde que todos os limites componentes existam. Vamos calcular cada um separadamente.
Passo 3
Primeira componente (i): calcular
.
Explicação: funções polinomiais são contínuas, e o limite ao aproximar
por
é apenas o valor da expressão substituindo
.
Cálculo:
Passo 4
Segunda componente (j): calcular
.
Explicação: produto de funções contínuas;
é contínua e
também. Podemos substituir
.
Cálculo:
Passo 5
Terceira componente (k): calcular
.
Aqui precisamos de uma técnica porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
(forma indeterminada
). Duas maneiras comuns: (i) usar a série de Taylor de
perto de zero, ou (ii) aplicar a regra de L’Hôpital (duas vezes se for o caso). Vou usar a expansão em série porque é direta e muito didática.
Lembrete (série de Taylor de
em torno de
): para
pequeno,
Substituindo na expressão do numerador:
Dividindo por
obtemos
Ao tomar o limite
, os termos com
desaparecem, sobrando
Observação extra (opcional): usando L’Hôpital daria o mesmo resultado. Aplicando L’Hôpital uma vez: numerador’=
, denominador’=
; ainda dá forma
ao ir para
, aplicar L’Hôpital de novo e chegar ao mesmo
.
Passo 6
Agora juntamos as três componentes limitadas. Assim:
Em notação vetorial usual:
Passo 7
Agora vamos determinar
para
.
Regra importante (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
, então
Também precisaremos de algumas regras de derivação: derivada de
é
; derivada de
é
; regra do produto:
; regra do quociente:
.
Passo 8
Derivada da primeira componente
.
Cálculo e explicação:
é constante (derivada
); derivada de
é
. Logo
Passo 9
Derivada da segunda componente
.
Usamos a regra do produto com
e
.
-
. -
.
Aplicando
:
Passo 10
Derivada da terceira componente
.
Vou usar a regra do quociente com
e
.
-
(derivada de é ). -
.
A regra do quociente dá
Podemos simplificar fatorando um
no numerador:
Outra forma equivalente, expandindo o numerador, é
mas deixaremos na forma mais compacta
Passo 11
Juntando as derivadas das três componentes, a derivada vetorial para
é