1. Considere a função vetorial
\mathbf{r}(t)=\left(2-t^{2}\right) \mathbf{i}+\left(t^{2} e^{t}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{1-\cos t}{t^{2}}\right) \mathbf{k}, \quad t \neq 0
a) Determine \lim _{t \rightarrow 0} \mathbf{r}(t) .
b) Determine \mathbf{r}^{\prime}(t), para t \neq 0 .

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=\left(2-t^{2}\right)\mathbf{i}+\left(t^{2}e^{t}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{1-\cos t}{t^{2}}\right)\mathbf{k},\qquad t\neq 0.
As perguntas são:
  • (a) Determinar \lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t).
  • (b) Determinar \mathbf{r}'(t) para t\neq 0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é dada componente a componente (i, j, k).
  • Está explícito que t\neq 0 na definição; entretanto a pergunta (a) pede o limite quando t\to 0, ou seja, aproximando-se de zero (mesmo que a função não esteja definida em t=0).
  • Para responder (a) vamos calcular o limite de cada componente quando t\to 0.
  • Para responder (b) vamos derivar cada componente em função de t (derivada componente a componente).

Passo 2

Regra importante (explicação didática): o limite de uma função vetorial é feito componente a componente. Isso significa que
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=\left(\lim_{t\to 0}\bigl(2-t^{2}\bigr)\right)\mathbf{i}+\left(\lim_{t\to 0}\bigl(t^{2}e^{t}\bigr)\right)\mathbf{j}+\left(\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}\right)\mathbf{k},
desde que todos os limites componentes existam. Vamos calcular cada um separadamente.

Passo 3

Primeira componente (i): calcular \lim_{t\to 0}\bigl(2-t^{2}\bigr).
Explicação: funções polinomiais são contínuas, e o limite ao aproximar t por 0 é apenas o valor da expressão substituindo t=0.
Cálculo:
\lim_{t\to 0}\bigl(2-t^{2}\bigr)=2-0^{2}=2.

Passo 4

Segunda componente (j): calcular \lim_{t\to 0}\bigl(t^{2}e^{t}\bigr).
Explicação: produto de funções contínuas; e^{t} é contínua e t^{2} também. Podemos substituir t=0.
Cálculo:
\lim_{t\to 0}\bigl(t^{2}e^{t}\bigr)=0^{2}\cdot e^{0}=0\cdot 1=0.

Passo 5

Terceira componente (k): calcular \lim_{t\to 0}\dfrac{1-\cos t}{t^{2}}.
Aqui precisamos de uma técnica porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando t\to 0 (forma indeterminada 0/0). Duas maneiras comuns: (i) usar a série de Taylor de \cos t perto de zero, ou (ii) aplicar a regra de L’Hôpital (duas vezes se for o caso). Vou usar a expansão em série porque é direta e muito didática.
Lembrete (série de Taylor de \cos t em torno de 0): para t pequeno,
\cos t = 1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{24}+\text{termos de ordem superior (}t^{6},\ldots\text{)}.
Substituindo na expressão do numerador:
1-\cos t = 1-\left(1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{24}+\cdots\right)=\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{4}}{24}+\cdots.
Dividindo por t^{2} obtemos
\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}-\frac{t^{2}}{24}+\cdots.
Ao tomar o limite t\to 0, os termos com t desaparecem, sobrando
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}.
Observação extra (opcional): usando L’Hôpital daria o mesmo resultado. Aplicando L’Hôpital uma vez: numerador’= \sin t, denominador’= 2t; ainda dá forma 0/0 ao ir para 0, aplicar L’Hôpital de novo e chegar ao mesmo \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora juntamos as três componentes limitadas. Assim:
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=2\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+\frac{1}{2}\,\mathbf{k}.
Em notação vetorial usual:
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=\bigl(2,\,0,\,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 7

Agora vamos determinar \mathbf{r}'(t) para t\neq 0.
Regra importante (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr).
Também precisaremos de algumas regras de derivação: derivada de t^{n} é n t^{n-1}; derivada de e^{t} é e^{t}; regra do produto: (uv)'=u'v+uv'; regra do quociente: \bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)'=\tfrac{f'g-fg'}{g^{2}}.

Passo 8

Derivada da primeira componente x(t)=2-t^{2}.
Cálculo e explicação: 2 é constante (derivada 0); derivada de -t^{2} é -2t. Logo
x'(t)=-2t.

Passo 9

Derivada da segunda componente y(t)=t^{2}e^{t}.
Usamos a regra do produto com u(t)=t^{2} e v(t)=e^{t}.
  • u'(t)=2t.
  • v'(t)=e^{t}.
Aplicando (uv)'=u'v+uv':
y'(t)=2t\cdot e^{t}+t^{2}\cdot e^{t}=e^{t}\bigl(2t+t^{2}\bigr).

Passo 10

Derivada da terceira componente z(t)=\dfrac{1-\cos t}{t^{2}}.
Vou usar a regra do quociente com f(t)=1-\cos t e g(t)=t^{2}.
  • f'(t)=\sin t (derivada de -\cos t é \sin t).
  • g'(t)=2t.
A regra do quociente dá
z'(t)=\frac{f'(t)g(t)-f(t)g'(t)}{g(t)^{2}} =\frac{\sin t\cdot t^{2}-(1-\cos t)\cdot 2t}{t^{4}}.
Podemos simplificar fatorando um t no numerador:
z'(t)=\frac{t\bigl(t\sin t-2(1-\cos t)\bigr)}{t^{4}}=\frac{t\sin t-2(1-\cos t)}{t^{3}}.
Outra forma equivalente, expandindo o numerador, é
z'(t)=\frac{t\sin t-2+2\cos t}{t^{3}},
mas deixaremos na forma mais compacta
z'(t)=\frac{t\sin t-2(1-\cos t)}{t^{3}}.

Passo 11

Juntando as derivadas das três componentes, a derivada vetorial para t\neq 0 é
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-2t,\;e^{t}(2t+t^{2}),\;\frac{t\sin t-2(1-\cos t)}{t^{3}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=\bigl(2,\,0,\,\tfrac{1}{2}\bigr)
\displaystyle \mathbf{r}'(t)=\bigl(-2t,\;e^{t}(2t+t^{2}),\;\frac{t\sin t-2(1-\cos t)}{t^{3}}\bigr),\quad t\neq 0

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