- Considere a função vetorial
a) Determine o domínio de
.
b) Verifique se
é contínua em
.
c) Determine
.
b) Verifique se
c) Determine
Passo 1
O enunciado fornece a função vetorial
O que o exercício pede:
- (a) Determinar o domínio de
. - (b) Verificar se
é contínua em . - (c) Determinar
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (componentes da função vetorial):
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
Passo 2
Conceito prático para (a): o domínio de uma função vetorial é a interseção dos domínios das suas componentes. Vou achar o domínio de cada componente separadamente.
- Para
: o radicando precisa ser não negativo, isto é
Portanto o domínio da primeira componente é
.
- Para
: o denominador não pode ser zero, logo
Portanto o domínio da segunda componente é
.
- Para
: o argumento do logaritmo natural deve ser estritamente positivo,
Portanto o domínio da terceira componente é
.
Passo 3
Agora faço a interseção dos três domínios encontrados:
-
(da raiz), -
(do inverso), -
(do log).
Interseção passo a passo:
- Interseção de
com é . - Interseção desse resultado com
remove o ponto , que está dentro de .
Portanto o domínio de
é
Passo 4
Conceito prático para (b): uma função vetorial é contínua em um ponto se e somente se cada componente é contínua nesse ponto. Para componentes usuais: polinômios, potências com expoente racional positivo,
e funções racionalizadas (onde o denominador não zera) são contínuas em seus domínios. Então basta verificar que
pertence ao domínio e que cada componente é contínua em
.
Primeiro,
pertence ao domínio porque
,
e
.
Agora avalio cada componente em
:
Como cada função componente (
,
,
) é contínua em
(são composições de funções contínuas em pontos onde estão definidas), a função vetorial
é contínua em
. Em termos de limite:
Passo 5
Conceitos para (c) — regras que vou usar:
- Regra do poder (para
): . - Regra da cadeia (aplicada acima): se
, então . - Derivada de
: . - Derivada de
: usando o poder com .
Passo 6
Derivo cada componente passo a passo.
- Primeira componente: escrever como potência:
Aplicando a regra da cadeia com
e
:
Aqui
. Logo
- Segunda componente:
(Em que
.)
- Terceira componente: usar derivada do logaritmo com
, :
Passo 7
Combino as derivadas em forma vetorial:
Domínio da derivada: cada termo acima precisa estar definido. Observações:
-
exige , ou seja (em há divisão por zero). -
exige . -
exige , isto é . Mas já no domínio original era exigido, então não há no domínio.
Portanto
está definida em
ou seja, é igual ao domínio de
mas sem o ponto
(onde a derivada da raiz explode).
Resposta
(a)
\n
(b) Sim; \n
(c) definida em
.
(b) Sim;
(c)