(a) Se a posição de uma partícula é dada por x=4-12 t+3 t^2 (onde t está em segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t=1 s ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição de uma partícula dada pela equação $ x = 4 - 12t + 3t^2 $, onde $ t $ está em segundos e $ x $ em metros. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula no instante $ t = 1 $ segundo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da função posição $ x(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos derivar a função posição $ x(t) = 4 - 12t + 3t^2 $ em relação ao tempo $ t $. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
x(t) = 4 - 12t + 3t^2

Passo 4

Calculando cada derivada individualmente:
  • A derivada de uma constante é zero: $ \frac{d}{dt}(4) = 0 $
  • A derivada de $ 12t $ em relação a $ t $ é $ 12 $
  • A derivada de $ 3t^2 $ usando a regra do poder é $ 6t $
Então, temos:
ddt(4) = 0

Passo 5

Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) = -12 + 6t $, vamos substituir $ t = 1 $ segundo para encontrar a velocidade naquele instante:
v(t) = -12 + 6t

Resposta

A velocidade da partícula em $ t = 1 $ segundo é $ -6 $ metros por segundo.

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