Uma pedra de massa igual a
é libertada a partir do repouso no ponto
situado no topo de um recipiente hemisférico grande com raio
(Figura 7.25). Suponha que o tamanho da pedra seja pequeno em comparação com
, de modo que a pedra possa ser tratada como uma partícula, e suponha que a pedra deslize sem rolar. O trabalho realizado pela força de atrito quando ela se move de
ao ponto
situado na base do recipiente é igual a
. Qual é a velocidade da pedra quando ela atinge o ponto
?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma pedrinha de massa
largada do topo de um “bowl” hemisférico de raio
. Ela desliza (sem rolar) até o ponto mais baixo e, no caminho, o atrito faz um trabalho de
. A pergunta é: qual a velocidade
da pedra ao chegar no fundo?
Conteúdo: Mecânica – Energia Mecânica e Trabalho de Forças não conservativas (atrito). Vamos usar o Princípio do Trabalho e Energia, que traz a conservação de energia incluindo a perda por atrito.
Conteúdo: Mecânica – Energia Mecânica e Trabalho de Forças não conservativas (atrito). Vamos usar o Princípio do Trabalho e Energia, que traz a conservação de energia incluindo a perda por atrito.
Passo 2
Começando pela energia gravitacional: ao descer do topo até o fundo, a pedra perde energia potencial. A variação de altura é igual ao raio
, pois do topo ao fundo a diferença de nível é
.
A energia potencial gravitacional inicial é
A energia potencial gravitacional inicial é
Aqui,
. Então, numericamente,
Passo 3
Agora o atrito faz um trabalho não conservativo
(é negativo porque retira energia).
O Teorema Trabalho–Energia diz que a energia cinética final será igual à energia perdida pela gravidade mais o trabalho das forças não conservativas:
O Teorema Trabalho–Energia diz que a energia cinética final
Substituindo:
Passo 4
A energia cinética final é dada por
Então basta isolar
:
Passo 5
Calculemos a raiz:
Pronto, essa é a velocidade da pedra no ponto
.
Resposta
A velocidade da pedra ao atingir o fundo é aproximadamente
.