Se a posição de uma partícula é dada por:
x(t)=25 t^{2}-5 t^{3},
onde x está em metros e t em segundos:
(a) Em que instante(s) a velocidade da partícula é zero?
(b) Em que instante(s) a aceleração da partícula é positiva, negativa, e zero?

Passo 1

O enunciado diz que a posição de uma partícula ao longo de uma reta é
x(t)=25\,t^{2}-5\,t^{3},
com x em metros e t em segundos. Precisamos achar os instantes em que a velocidade é zero e analisar em que intervalos a aceleração é positiva, negativa ou nula.

Passo 2

Para encontrar a velocidade, derivamos x(t) em relação a t. Aplicando a regra de potência:
v(t)=x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(25\,t^{2}-5\,t^{3}\bigr)=50\,t-15\,t^{2}.

Passo 3

Agora achamos os zeros de v(t):
v(t)=50\,t-15\,t^{2}=5\,t\,(10-3\,t).
Igualando a zero, vem \;5\,t\,(10-3\,t)=0,
portanto \;t=0 ou \;10-3\,t=0\Rightarrow t=\tfrac{10}{3}\,\mathrm{s}.

Passo 4

Para a aceleração, derivamos v(t) em relação a t:
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(50\,t-15\,t^{2}\bigr)=50-30\,t.

Passo 5

A aceleração anula-se quando
50-30\,t=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}\,\mathrm{s}.

Passo 6

Como a(t)=50-30\,t é uma reta decrescente em t, temos:
- Para t<\tfrac{5}{3}, a(t)>0.
- Em t=\tfrac{5}{3}, a(t)=0.
- Para t>\tfrac{5}{3}, a(t)<0.

Resposta

(a) \,t=0 e t=\tfrac{10}{3}\,\mathrm{s}.
(b) a(t)>0 para t<\tfrac{5}{3}\,\mathrm{s}; a(t)=0 em t=\tfrac{5}{3}\,\mathrm{s}; a(t)<0 para t>\tfrac{5}{3}\,\mathrm{s}.

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