4- A posição de uma partícula que se desloca no eixo dos x é aproximada pela relação x=2,5 t^{3} 62 t^{2}+10,3 t, onde x é medido em metros e o tempo t em segundos. Encontre o tempo, posição e componente da aceleração nos instantes em que a partícula está em repouso ( v_{x}=0 ). \boldsymbol{R}: \boldsymbol{E} \boldsymbol{m} \boldsymbol{t}=\mathbf{0}, 0835 \mathrm{~s}, x=0,429 \mathrm{~m}, a_{x}=-122,75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; em t=16,45 \mathrm{~s}, x=-5484,3 \mathrm{~m}, a_{x}=122,75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como função do tempo e pede: nos instantes em que a partícula está em repouso ( v_x=0) — encontrar o tempo, a posição e a componente da aceleração. Informações relevantes fornecidas:
x(t)=2,5\,t^{3}-62\,t^{2}+10,3\,t,
onde x está em metros e t em segundos. O que precisamos achar para cada instante em que v_x=0:
  • o(s) valor(es) de t;
  • a posição x(t) nesses t;
  • a componente da aceleração a_x(t) nesses t.

Passo 2

Vamos obter a velocidade v_x(t) derivando x(t) em relação ao tempo t. Regra usada: a derivada de \,t^{n}\, é n\,t^{n-1} (regra do poder) e a derivada é linear (derivada da soma é soma das derivadas; constantes multiplicam). Aplicando:
x(t)=2,5\,t^{3}-62\,t^{2}+10,3\,t
Derivando termo a termo:
v_x(t)=\frac{dx}{dt}=2,5\cdot 3\,t^{2}-62\cdot 2\,t+10,3\cdot 1.
Simplificando os coeficientes:
v_x(t)=7,5\,t^{2}-124\,t+10,3.

Passo 3

Para encontrar os instantes em que a partícula está em repouso, imponho v_x(t)=0. Assim temos a equação quadrática
7,5\,t^{2}-124\,t+10,3=0.
Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara): para uma equação \,a t^{2}+b t + c = 0, as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=7,5, b=-124 e c=10,3.

Passo 4

Calculo o discriminante \Delta = b^{2}-4ac:
\Delta = (-124)^{2}-4\cdot 7,5\cdot 10,3 = 15376 - 309 = 15067.
Agora as raízes:
t=\frac{124\pm\sqrt{15067}}{2\cdot 7,5}=\frac{124\pm\sqrt{15067}}{15}.
Avalio numericamente (arredondando adequadamente para a precisão pedida):
\sqrt{15067}\approx 122,74.
Assim
t_{1}\approx\frac{124-122,74}{15}\approx\frac{1,26}{15}\approx0,0835\\ \text{s},
t_{2}\approx\frac{124+122,74}{15}\approx\frac{246,74}{15}\approx16,45\\ \text{s}.

Passo 5

Agora obtemos a aceleração a_x(t) derivando a velocidade. Derivada de v_x(t)=7,5\,t^{2}-124\,t+10,3 é
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=7,5\cdot 2\,t -124\cdot 1 =15\,t-124.
Esta é a expressão geral da componente da aceleração ao longo do eixo x.

Passo 6

Avalio a_x nos tempos encontrados.
Para t_{1}\approx0,0835\\ \text{s}:
a_x(0,0835)=15\cdot 0,0835 -124 \approx 1,2525 -124 \approx -122,75\\ \text{m/s}^{2}.
Para t_{2}\approx16,45\\ \text{s}:
a_x(16,45)=15\cdot 16,45 -124 \approx 246,75 -124 \approx 122,75\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 7

Agora calculo a posição x(t) em cada instante, substituindo na expressão original.
Para t_{1}\approx0,0835\\ \text{s}:
Calculo os termos separadamente (uso aritmética mostrada para facilitar na prova):
t_{1}^{3}\approx0,00058218,\quad 2,5\,t_{1}^{3}\approx0,001455,
t_{1}^{2}\approx0,00697225,\quad -62\,t_{1}^{2}\approx -0,432280,
10,3\,t_{1}\approx0,86005.
Somando:
x(0,0835)\approx 0,001455 -0,432280 +0,86005 \approx 0,429\\ \text{m}.
Para t_{2}\approx16,45\\ \text{s}:
Calculo os termos:
t_{2}^{2}\approx 270,6025,\quad t_{2}^{3}\approx 4451,4111,
2,5\,t_{2}^{3}\approx 11128,528,\quad -62\,t_{2}^{2}\approx -16777,355,
10,3\,t_{2}\approx 169,435.
Somando:
x(16,45)\approx 11128,528 -16777,355 +169,435 \approx -5484,3\\ \text{m}.

Resposta

t=0,0835\\ \text{s},\\ x=0,429\\ \text{m},\\ a_{x}=-122,75\\ \text{m/s}^{2}
t=16,45\\ \text{s},\\ x=-5484,3\\ \text{m},\\ a_{x}=122,75\\ \text{m/s}^{2}

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