4- A posição de uma partícula que se desloca no eixo dos
é aproximada pela relação
, onde
é medido em metros e o tempo
em segundos. Encontre o tempo, posição e componente da aceleração nos instantes em que a partícula está em repouso (
).
,
em
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo
como função do tempo e pede: nos instantes em que a partícula está em repouso (
) — encontrar o tempo, a posição e a componente da aceleração. Informações relevantes fornecidas:
onde
está em metros e
em segundos. O que precisamos achar para cada instante em que
:
- o(s) valor(es) de
; - a posição
nesses ; - a componente da aceleração
nesses .
Passo 2
Vamos obter a velocidade
derivando
em relação ao tempo
. Regra usada: a derivada de
é
(regra do poder) e a derivada é linear (derivada da soma é soma das derivadas; constantes multiplicam). Aplicando:
Derivando termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Para encontrar os instantes em que a partícula está em repouso, imponho
. Assim temos a equação quadrática
Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara): para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
e
.
Passo 4
Calculo o discriminante
:
Agora as raízes:
Avalio numericamente (arredondando adequadamente para a precisão pedida):
Assim
Passo 5
Agora obtemos a aceleração
derivando a velocidade. Derivada de
é
Esta é a expressão geral da componente da aceleração ao longo do eixo
.
Passo 6
Avalio
nos tempos encontrados.
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora calculo a posição
em cada instante, substituindo na expressão original.
Para
:
Calculo os termos separadamente (uso aritmética mostrada para facilitar na prova):
Calculo os termos separadamente (uso aritmética mostrada para facilitar na prova):
Somando:
Para
:
Calculo os termos:
Calculo os termos:
Somando: