5- Um objeto desloca-se num percurso a uma dimensão. Após ter percorrido uma distância s=5 \mathrm{~cm} o objeto pára, em t=0. A partir desse instante, é submetido a uma aceleração tangencial a_{t}=9-3 t^{2}, até parar novamente, onde t é medido em segundos e a_{t} em \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2}. Calcule: (a) O tempo quando o objeto volta a parar. (b) A distância total percorrida até essa segunda paragem. R: (a) 3 s; (b) 20,25 cm.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • O objeto percorre uma distância inicial de \,5\\ \mathrm{cm}\, e nesse instante ele pára; esse instante é marcado como \,t=0.
  • A partir de \,t=0 a aceleração tangencial (função do tempo) é dada por \,a_{t}=9-3t^{2}\,, com \,t em segundos e \,a_{t} em \,\mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.
  • Como o objeto está parado em \,t=0, temos velocidade inicial \,v(0)=0.
  • O enunciado pede:
    (a) o tempo em que o objeto volta a parar (ou seja, o próximo instante t>0 em que a velocidade é zero);
    (b) a distância total percorrida até essa segunda paragem. (Aqui vou interpretar, conforme a resposta fornecida pelo enunciado, que se pede a distância percorrida a partir de t=0 até a segunda paragem — ou seja, o deslocamento durante o período em que a aceleração dada atua.)

Passo 2

Entendendo as relações básicas que vamos usar (mini-aula):
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmulas:
a_{t}=\frac{dv}{dt}.
Isto significa que, para recuperar a velocidade a partir da aceleração, devemos integrar a_{t} em relação a t:
v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a_{\tau}\,d\tau,
onde \tau é uma variável de integração e v(0) é a velocidade inicial.
  • A velocidade é a derivada da posição (deslocamento) em relação ao tempo:
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Para obter o deslocamento entre dois instantes, integramos a velocidade:
\Delta s=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.
Essas duas ideias (integrar aceleração para ter velocidade, e integrar velocidade para ter deslocamento) são a espinha dorsal da resolução.

Passo 3

Integro a aceleração para obter a velocidade, usando v(0)=0.
Começo com \,a_{t}=9-3t^{2}. Integrando em relação a t:
v(t)=\int (9-3t^{2})\,dt = \int 9\,dt - \int 3t^{2}\,dt.
Calculo cada integral:
\int 9\,dt = 9t,
\int 3t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3}=t^{3}.
Portanto a primitiva é
v(t)=9t - t^{3} + C,
onde C é a constante de integração. Como v(0)=0, temos
v(0)=9\cdot 0 - 0^{3} + C = C = 0.
Logo
v(t)=9t - t^{3}.

Passo 4

Encontro os instantes em que a velocidade é zero (paradas). Resolvo v(t)=0:
9t - t^{3}=0.
Coloco em fator comum \,t:
t(9 - t^{2})=0.
Isso dá raízes
t=0 \quad\text{ou}\quad 9 - t^{2}=0\Rightarrow t^{2}=9\Rightarrow t= \pm 3.
Como estamos tratando de tempo não negativo e já conhecemos a parada em t=0, o próximo instante de parada (o pedido em (a)) é
t=3\\ \mathrm{s}.
Fisicamente, isso significa que a velocidade aumenta a partir de zero, depois diminui até voltar a zerar em t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora calculo a distância percorrida entre \,t=0 e \,t=3. Usamos a relação \,v(t)=\dfrac{ds}{dt}, logo o deslocamento (distância percorrida na mesma direção) é
\Delta s=\int_{0}^{3} v(t)\,dt = \int_{0}^{3} (9t - t^{3})\,dt.
Vou calcular essa integral passo a passo. Encontro uma primitiva de 9t - t^{3}:
\int (9t - t^{3})\,dt = \int 9t\,dt - \int t^{3}\,dt = 9\cdot\frac{t^{2}}{2} - \frac{t^{4}}{4} = \frac{9}{2}t^{2} - \frac{1}{4}t^{4}.
Agora avalio entre 0 e 3:
\Delta s=\left[\frac{9}{2}t^{2} - \frac{1}{4}t^{4}\right]_{0}^{3} = \left(\frac{9}{2}\cdot 3^{2} - \frac{1}{4}\cdot 3^{4}\right) - 0.
Calculo numérico:
\frac{9}{2}\cdot 3^{2} = \frac{9}{2}\cdot 9 = \frac{81}{2},
\frac{1}{4}\cdot 3^{4} = \frac{1}{4}\cdot 81 = \frac{81}{4}.
Subtraindo:
\Delta s = \frac{81}{2} - \frac{81}{4} = \frac{162-81}{4} = \frac{81}{4}.
Como \,\dfrac{81}{4}=20{,}25, obtemos
\Delta s=20{,}25\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Interpretação final (motivação e atenção):
  • A parte (a) ficou \,t=3\\ \mathrm{s}.
  • A parte (b), conforme a interpretação consistente com a resposta dada no enunciado, pediu a distância percorrida a partir de t=0 até a segunda paragem; isso é \,\Delta s=20{,}25\\ \mathrm{cm}.
  • Observação extra (útil na prova): se você fosse perguntado a posição absoluta final (ou “distância total desde o início”), somaria a distância inicial de \,5\\ \mathrm{cm} ao deslocamento calculado e teria 5 + 20{,}25 = 25{,}25\\ \mathrm{cm}. Verifique sempre o que exatamente o enunciado pede.

Resposta

(a) 3\\ \mathrm{s}
(b) 20{,}25\\ \mathrm{cm}

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