5- Um objeto desloca-se num percurso a uma dimensão. Após ter percorrido uma distância
o objeto pára, em
. A partir desse instante, é submetido a uma aceleração tangencial
, até parar novamente, onde
é medido em segundos e
em
. Calcule: (a) O tempo quando o objeto volta a parar. (b) A distância total percorrida até essa segunda paragem. R: (a) 3 s; (b) 20,25 cm.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
- O objeto percorre uma distância inicial de
e nesse instante ele pára; esse instante é marcado como . - A partir de
a aceleração tangencial (função do tempo) é dada por , com em segundos e em . - Como o objeto está parado em
, temos velocidade inicial . - O enunciado pede:
(a) o tempo em que o objeto volta a parar (ou seja, o próximo instanteem que a velocidade é zero);
(b) a distância total percorrida até essa segunda paragem. (Aqui vou interpretar, conforme a resposta fornecida pelo enunciado, que se pede a distância percorrida a partir deaté a segunda paragem — ou seja, o deslocamento durante o período em que a aceleração dada atua.)
Passo 2
Entendendo as relações básicas que vamos usar (mini-aula):
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmulas:
Isto significa que, para recuperar a velocidade a partir da aceleração, devemos integrar
em relação a
:
onde
é uma variável de integração e
é a velocidade inicial.
- A velocidade é a derivada da posição (deslocamento) em relação ao tempo:
Para obter o deslocamento entre dois instantes, integramos a velocidade:
Essas duas ideias (integrar aceleração para ter velocidade, e integrar velocidade para ter deslocamento) são a espinha dorsal da resolução.
Passo 3
Integro a aceleração para obter a velocidade, usando
.
Começo com
. Integrando em relação a
:
Calculo cada integral:
Portanto a primitiva é
onde
é a constante de integração. Como
, temos
Logo
Passo 4
Encontro os instantes em que a velocidade é zero (paradas). Resolvo
:
Coloco em fator comum
:
Isso dá raízes
Como estamos tratando de tempo não negativo e já conhecemos a parada em
, o próximo instante de parada (o pedido em (a)) é
Fisicamente, isso significa que a velocidade aumenta a partir de zero, depois diminui até voltar a zerar em
.
Passo 5
Agora calculo a distância percorrida entre
e
. Usamos a relação
, logo o deslocamento (distância percorrida na mesma direção) é
Vou calcular essa integral passo a passo. Encontro uma primitiva de
:
Agora avalio entre
e
:
Calculo numérico:
Subtraindo:
Como
, obtemos
Passo 6
Interpretação final (motivação e atenção):
- A parte (a) ficou
. - A parte (b), conforme a interpretação consistente com a resposta dada no enunciado, pediu a distância percorrida a partir de
até a segunda paragem; isso é . - Observação extra (útil na prova): se você fosse perguntado a posição absoluta final (ou “distância total desde o início”), somaria a distância inicial de
ao deslocamento calculado e teria . Verifique sempre o que exatamente o enunciado pede.
Resposta
(a)
(b)
(b)