7- Suponha que a aceleração de uma partícula depende da posição na forma
. A partícula parte do repouso em
, e em
a componente
da sua velocidade é
. Calcule: (a) O valor de
. (b) A velocidade da partícula em
. R: (a)
; (b)
.
Passo 1
O enunciado dá uma aceleração que depende da posição e pede para encontrar uma constante e uma velocidade. Dados e perguntas (todos os números transformados para o SI quando necessário):
- A aceleração é
. - A partícula parte do repouso em
. - Em
a componente da velocidade é . - Pergunta (a): calcular
. - Pergunta (b): calcular a velocidade em
.
Passo 2
Conceito chave e motivo do método: quando a aceleração é dada como função da posição, a relação mais prática para eliminar o tempo é usar a regra da cadeia para
. Usamos
Explicando devagar:
é a velocidade; a derivada de
em relação a
pode ser escrita como derivada de
em relação a
multiplicada por
. Isso transforma uma equação com tempo numa equação em
e
, que podemos integrar sem precisar do tempo explicitamente.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso problema substituímos
por
:
Separamos variáveis e integramos entre as posições conhecidas; faço a integral definida entre
e
e entre
e
:
Calculando as integrais (a integral de
dá
; a integral de
dá
):
Esta é a fórmula de energia cinética equivalente aqui — relaciona o acréscimo de
com a função de
.
Passo 4
Usamos as condições iniciais para achar
. Como parte do repouso em
, temos
. Para
sabemos
. Substituindo na fórmula:
Calculemos passo a passo:
Logo
Unidades: da equação
temos
. Portanto
.
Passo 5
Agora calculamos a velocidade em
. Usamos novamente
com
,
,
e
. Assim
Calculemos:
Como a velocidade em
era positiva e não temos mudança de sentido indicada, tomamos o resultado positivo:
.
Resposta
(a)
(b)
(b)