7- Suponha que a aceleração de uma partícula depende da posição na forma a=-k x^{-2}. A partícula parte do repouso em x=800 \mathrm{~mm}, e em x=500 \mathrm{~mm} a componente x da sua velocidade é +6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule: (a) O valor de k. (b) A velocidade da partícula em x=250 \mathrm{~mm}. R: (a) \mathbf{2 4} \boldsymbol{m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}}; (b) \mathbf{1 1 , 4 9} m / s.

Passo 1

O enunciado dá uma aceleração que depende da posição e pede para encontrar uma constante e uma velocidade. Dados e perguntas (todos os números transformados para o SI quando necessário):
  • A aceleração é \displaystyle a = -k\,x^{-2}.
  • A partícula parte do repouso em \displaystyle x_0=800\\ \mathrm{mm}=\;0{,}800\\ \mathrm{m}.
  • Em \displaystyle x_1=500\\ \mathrm{mm}=\;0{,}500\\ \mathrm{m} a componente x da velocidade é \displaystyle v_1=+6\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta (a): calcular \displaystyle k.
  • Pergunta (b): calcular a velocidade em \displaystyle x_2=250\\ \mathrm{mm}=\;0{,}250\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito chave e motivo do método: quando a aceleração é dada como função da posição, a relação mais prática para eliminar o tempo é usar a regra da cadeia para \displaystyle a=\frac{dv}{dt}. Usamos
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Explicando devagar: \displaystyle v=\frac{dx}{dt} é a velocidade; a derivada de v em relação a t pode ser escrita como derivada de v em relação a x multiplicada por \displaystyle dx/dt. Isso transforma uma equação com tempo numa equação em v e x, que podemos integrar sem precisar do tempo explicitamente.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso problema substituímos \displaystyle a por \displaystyle v\frac{dv}{dx}:
v\frac{dv}{dx} = -k\,x^{-2}.
Separamos variáveis e integramos entre as posições conhecidas; faço a integral definida entre \displaystyle x_0 e \displaystyle x e entre \displaystyle v_0 e \displaystyle v:
\int_{v_0}^{v} v\,dv = \int_{x_0}^{x} -k\,x^{-2}\,dx.
Calculando as integrais (a integral de v \tfrac{1}{2}v^2; a integral de -k x^{-2} k x^{-1}):
\frac{1}{2}\bigl(v^2 - v_0^2\bigr) = k\!\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right).
Esta é a fórmula de energia cinética equivalente aqui — relaciona o acréscimo de \tfrac{1}{2}v^2 com a função de x.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar \displaystyle k. Como parte do repouso em \displaystyle x_0, temos \displaystyle v_0=0. Para \displaystyle x=x_1=0{,}500\\ \mathrm{m} sabemos \displaystyle v=6\\ \mathrm{m/s}. Substituindo na fórmula:
\frac{1}{2}\bigl(6^2 - 0^2\bigr) = k\!\left(\frac{1}{0{,}500} - \frac{1}{0{,}800}\right).
Calculemos passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 36 = 18.
\frac{1}{0{,}500}=2,\qquad \frac{1}{0{,}800}=1{,}25.
18 = k\,(2 - 1{,}25)=k\cdot 0{,}75.
Logo
k=\frac{18}{0{,}75}=24.
Unidades: da equação \displaystyle a=-k x^{-2} temos [k]=[a]\,[x]^2=(\mathrm{m/s^2})\cdot\mathrm{m}^2=\mathrm{m^3/s^2}. Portanto \displaystyle k=24\\ \mathrm{m^3/s^2}.

Passo 5

Agora calculamos a velocidade em \displaystyle x_2=0{,}250\\ \mathrm{m}. Usamos novamente
\frac{1}{2}\bigl(v^2 - v_0^2\bigr) = k\!\left(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_0}\right),
com \displaystyle v_0=0, \displaystyle k=24, \displaystyle x_0=0{,}800 e \displaystyle x_2=0{,}250. Assim
\frac{1}{2}v^2 = 24\!\left(\frac{1}{0{,}250} - \frac{1}{0{,}800}\right).
Calculemos:
\frac{1}{0{,}250}=4,\qquad \frac{1}{0{,}800}=1{,}25.
\frac{1}{2}v^2 = 24\,(4 - 1{,}25)=24\cdot 2{,}75=66.
v^2 = 132.
v=\sqrt{132}\approx 11{,}489\\ \mathrm{m/s}.
Como a velocidade em \displaystyle x_1 era positiva e não temos mudança de sentido indicada, tomamos o resultado positivo: v\approx 11{,}49\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 24\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}
(b) 11{,}49\\ \mathrm{m/s}

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