A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo Ox é dada por: \mathrm{x}=\mathrm{b} 1 \mathrm{t} 3-\mathrm{b} 2 \mathrm{t} 4 onde b1 e b2 são constantes; x é dado em m e t em s.
a) Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula;
b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula;
Nas perguntas seguintes considere \mathrm{b} 1=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 3 e b2 =0,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 4.
c) Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo?
d) Qual a velocidade da partícula para t=3 s ? E parat t=4 s ?
e) Qual a distância total percorrida pela partícula nos nos 4 s iniciais?
f) Qual a aceleração da partícula para t=1 s ?
g) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo entre t=1 et =3 s ?
h) Qual a aceleração média da partícula entre os instantes de tempot =2 \mathrm{~s} et =5 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo de Ox por
x(t)=b_{1}\,t^{3}-b_{2}\,t^{4}
e pede: (a) velocidade v(t), (b) aceleração a(t) via derivadas; depois, com b_{1}=3 m/ s^{3} e b_{2}=0{,}7 m/ s^{4}: (c) instante de x máximo; (d) v(3) e v(4); (e) distância total em [0,4]; (f) a(1); (g) velocidade média de t=1 a 3; (h) aceleração média de t=2 a 5.

Passo 2

Para obter a velocidade usamos que v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Aplicando a regra do poder:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(b_{1}t^{3}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(b_{2}t^{4}\bigr) =3\,b_{1}t^{2}-4\,b_{2}t^{3}.

Passo 3

Para a aceleração usamos a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Derivando v(t):
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3b_{1}t^{2}-4b_{2}t^{3}\bigr) =6\,b_{1}t-12\,b_{2}t^{2}.

Passo 4

Com b_{1}=3 e b_{2}=0{,}7, o máximo de x ocorre onde v(t)=0 (além de t=0):
3b_{1}t^{2}-4b_{2}t^{3}=0 \;\Rightarrow\;t\bigl(3b_{1}-4b_{2}t\bigr)=0 \;\Rightarrow\;t=\frac{3b_{1}}{4b_{2}}=\frac{3\cdot3}{4\cdot0{,}7}\approx3{,}214\text{ s}.

Passo 5

Ainda com b_{1}=3, b_{2}=0{,}7, a velocidade é
v(t)=9t^{2}-2{,}8\,t^{3}.
Logo
v(3)=9\cdot3^{2}-2{,}8\cdot3^{3}=81-75{,}6=5{,}4\text{ m/s},
v(4)=9\cdot4^{2}-2{,}8\cdot4^{3}=144-179{,}2=-35{,}2\text{ m/s}.

Passo 6

Para a distância total em [0,4], observamos que a partícula vai de t=0 até t\approx3{,}214 aumentando x e depois diminui até t=4. Portanto
\Delta s =\bigl[x(3{,}214)-x(0)\bigr]+\bigl[x(3{,}214)-x(4)\bigr].
Calculando
x(3{,}214)=3\,(3{,}214)^{3}-0{,}7\,(3{,}214)^{4}\approx24{,}924\text{ m}, \quad x(0)=0, \quad x(4)=3\cdot4^{3}-0{,}7\cdot4^{4}=12{,}8\text{ m},
logo
\Delta s \approx(24{,}924-0)+(24{,}924-12{,}8)=24{,}924+12{,}124=37{,}048\text{ m}.

Passo 7

A aceleração em t=1 é
a(1)=6b_{1}\cdot1-12b_{2}\cdot1^{2}=6\cdot3-12\cdot0{,}7=18-8{,}4=9{,}6\text{ m/s}^{2}.

Passo 8

A velocidade média de t=1 a t=3 é
\bar v=\frac{x(3)-x(1)}{3-1}.
Como
x(3)=3\cdot3^{3}-0{,}7\cdot3^{4}=24{,}3\text{ m},\quad x(1)=3\cdot1^{3}-0{,}7\cdot1^{4}=2{,}3\text{ m},
temos
\bar v=\frac{24{,}3-2{,}3}{2}=11{,}0\text{ m/s}.

Passo 9

A aceleração média de t=2 a t=5 é
\bar a=\frac{v(5)-v(2)}{5-2}.
Com
v(5)=9\cdot5^{2}-2{,}8\cdot5^{3}=225-350=-125\text{ m/s},\quad v(2)=9\cdot2^{2}-2{,}8\cdot2^{3}=36-22{,}4=13{,}6\text{ m/s},
vem
\bar a=\frac{-125-13{,}6}{3}=\frac{-138{,}6}{3}=-46{,}2\text{ m/s}^{2}.

Resposta

a) v(t)=3b_{1}t^{2}-4b_{2}t^{3}.
b) a(t)=6b_{1}t-12b_{2}t^{2}.
c) t=\dfrac{3b_{1}}{4b_{2}}\approx3{,}214\text{ s}.
d) v(3)=5{,}4 m/s e v(4)=-35{,}2 m/s.
e) Distância total \approx37{,}048 m.
f) a(1)=9{,}6 m/ s^{2}.
g) Velocidade média =11{,}0 m/s.
h) Aceleração média =-46{,}2 m/ s^{2}.

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