Um objeto, largado de uma torre, faz um terço da distância total ao solo no último segundo de queda. A resistência do ar é desprezível.
(a) Quanto tempo o objeto leva para fazer os primeiros dois terços da distância total percorrida?
(b) Qual a altura da torre?
(c) Determine a velocidade média do objeto durante toda a sua descida.

Passo 1

O enunciado diz que um objeto, largado do repouso, cai de uma altura H com aceleração da gravidade g (resistência do ar desprezível) e que, no último segundo de queda, ele percorre um terço de H. Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, em particular
s(t)=\tfrac12\,g\,t^2\,,
onde s(t) é a distância percorrida em tempo t. Definimos T como o tempo total de queda até o solo.

Passo 2

Escrevemos a distância percorrida no último segundo, ou seja, de t=T-1 até t=T:
\Delta s_{\text{último}}=s(T)-s(T-1) =\tfrac12\,g\bigl[T^2-(T-1)^2\bigr] =\tfrac12\,g\bigl(2T-1\bigr) =g\Bigl(T-\tfrac12\Bigr).ú
Pelo enunciado, essa distância vale \tfrac13 da altura total H. Mas H=s(T)=\tfrac12\,g\,T^2. Logo,
g\Bigl(T-\tfrac12\Bigr)=\tfrac13\,H =\tfrac13\cdot\tfrac12\,g\,T^2 \quad\Longrightarrow\quad T-\tfrac12=\tfrac16\,T^2.
Multiplicando por 6 e reorganizando, obtemos
T^2-6T+3=0.

Passo 3

Resolvendo T^2-6T+3=0 pela fórmula de Bhaskara,
T=\frac{6\pm\sqrt{36-12}}{2} =\frac{6\pm\sqrt{24}}{2} =3\pm\sqrt6.
Como T>1 (senão o “último segundo” não existiria), tomamos
T=3+\sqrt6\quad\text{(segundos)}.

Passo 4

(a) Para achar o tempo t_1 em que o objeto percorre os primeiros \tfrac23 de H, impomos
s(t_1)=\tfrac23\,H \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,g\,t_1^2=\tfrac23\cdot\tfrac12\,g\,T^2 \quad\Longrightarrow\quad t_1=T\sqrt{\tfrac23}.
Substituindo T=3+\sqrt6,
t_1=(3+\sqrt6)\sqrt{\tfrac23} \approx(5{,}4495)\times0{,}8165\approx4{,}45\\ \text{s}.

Passo 5

(b) A altura da torre é
H=s(T)=\tfrac12\,g\,T^2 =\tfrac12\,g\,(3+\sqrt6)^2 =\tfrac12\,g\bigl(9+6\sqrt6+6\bigr) =\tfrac{g}{2}\,(15+6\sqrt6).
Numericamente, com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
H\approx4{,}9\times(5{,}4495)^2\approx4{,}9\times29{,}71\approx145{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(c) A velocidade média é definida por
v_{\text{m}}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}} =\frac{H}{T} =\frac{\tfrac12\,g\,T^2}{T} =\tfrac12\,g\,T =\tfrac12\,g\,(3+\sqrt6).â
Numericamente,
v_{\text{m}}\approx4{,}9\times5{,}4495\approx26{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) t_1=(3+\sqrt6)\sqrt{\tfrac23}\approx4{,}45\\ \mathrm{s}
(b) H=\tfrac{g}{2}\,(15+6\sqrt6)\approx145{,}6\\ \mathrm{m}
(c) v_{\text{m}}=\tfrac12\,g\,(3+\sqrt6)\approx26{,}7\\ \mathrm{m/s}

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