A posição x de um objeto é dada pela equação x=2+3 t-4 t 2, com x dado em metros e t em segundos. Determine sua posição quando ele muda de sentido. Qual a velocidade média do objeto entre os instantes de tempo t=0 et =10 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição de um objeto em função do tempo como
x(t) = 2 + 3t - 4t^2,
e pede:
  1. A posição quando o objeto muda de sentido (isto é, quando a velocidade passa por zero).
  2. A velocidade média entre t=0 e t=10\\ \mathrm{s}.
Para resolver, precisaremos usar:
  • Derivada para obter a velocidade v(t)=\frac{dx}{dt}.
  • Condição v(t)=0 para achar o instante de inversão de movimento.
  • Cálculo de x(t) nesse instante.
  • Fórmula de velocidade média \bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t}.

Passo 2

Para achar o instante em que o objeto muda de sentido, calculamos a velocidade como derivada de x(t):
v(t) = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t.
Igualando a zero, vem
3 - 8t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{3}{8}\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora determinamos a posição nessa passagem por t=\tfrac{3}{8}\\ \mathrm{s}:
x\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr) = 2 + 3\!\cdot\!\tfrac{3}{8} - 4\!\cdot\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr)^2 = 2 + \tfrac{9}{8} - 4\!\cdot\!\tfrac{9}{64} = 2 + \tfrac{9}{8} - \tfrac{36}{64} = 2 + \tfrac{9}{8} - \tfrac{9}{16} = 2 + \tfrac{9}{16} = \frac{41}{16}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para calcular a velocidade média entre t=0 e t=10\\ \mathrm{s}, usamos
\bar v = \frac{x(10)-x(0)}{10 - 0}.
Note que
x(0) = 2 + 3\cdot 0 - 4\cdot 0^2 = 2, \quad x(10) = 2 + 3\cdot 10 - 4\cdot 10^2 = 2 + 30 - 400 = -368.
Logo
\bar v = \frac{-368 - 2}{10} = \frac{-370}{10} = -37\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

Posição quando muda de sentido: \displaystyle x = \frac{41}{16}\\ \mathrm{m}.
Velocidade média entre 0 e 10\\ \mathrm{s}: \displaystyle -37\\ \mathrm{m/s}.

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