A posição de uma partícula no eixo x é dada por x=4-27 t+t^3, com x em metros e t em segundos.
Descreva o movimento da partícula para t >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a posição dada por $ x = 4 - 27t + t^3 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo é descrever como essa partícula se move para todo $ t \geq 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem se preocupar com suas causas. Precisamos descobrir a velocidade e a aceleração da partícula e analisar como esses valores afetam o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos $ x(t) $ em relação a $ t $:
x(t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
a(t) = dvdt = ddt(-27 + 3t^2) = 6t

Passo 4

Vamos analisar a velocidade $ v(t) = -27 + 3t^2 $. Para entender como a velocidade se comporta, podemos encontrar os momentos em que a velocidade é zero (quando a partícula muda de direção):
v(t) = -27 + 3t^2
Isso significa que a partícula muda de direção em $ t = 3 $ segundos.

Passo 5

Vamos ver como a aceleração $ a(t) = 6t $ se comporta. Como $ t \geq 0 $, a aceleração é sempre positiva após $ t = 0 $. Isso indica que a velocidade está aumentando quando $ t > 0 $.

Passo 6

Agora, vamos resumir o comportamento da partícula:
  • Para $ 0 \leq t < 3 $ segundos:
    • A velocidade $ v(t) = -27 + 3t^2 $ é negativa, isso significa que a partícula está se movendo na direção negativa do eixo $ x $.
    • A aceleração é positiva, então a velocidade está aumentando (ficando menos negativa) até chegar a zero em $ t = 3 $ segundos.
  • Em $ t = 3 $ segundos:
    • A velocidade é zero, a partícula muda de direção.
  • Para $ t > 3 $ segundos:
    • A velocidade $ v(t) = -27 + 3t^2 $ é positiva, indicando que a partícula está se movendo na direção positiva do eixo $ x $.
    • A aceleração continua positiva, então a velocidade está aumentando.

Resposta

A partícula inicialmente se move na direção negativa do eixo $ x $ com velocidade decrescente até parar em $ t = 3 $ segundos. A partir desse momento, ela inverte a direção e começa a se mover na direção positiva com velocidade crescente. Portanto, para todo $ t \geq 0 $, o movimento da partícula é:
  • Move-se para a esquerda até $ t = 3 $ segundos.
  • Parada instantânea em $ t = 3 $ segundos.
  • Move-se para a direita com velocidade aumentando para $ t > 3 $ segundos.

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