U real (T, V, N)=U ideal (T, N)+integralinfty^V(partial Upartial V)T)T d V
Mostre que isto implica que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma expressão para a energia interna real ( Ureal) de um gás em termos da energia interna de um gás ideal ( Uideal) e uma integral que depende do volume. O objetivo aqui é mostrar que a capacidade calorífica a volume constante ( CV) para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia interna e a capacidade calorífica se relacionam, especialmente no contexto dos gases ideais e de van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a capacidade calorífica a volume constante, CV. Ela é definida como a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma quantidade de gás em 1 grau, mantendo o volume constante. Matematicamente, é dada por:
CV = ( partial Upartial T )V
Aqui, U é a energia interna do sistema.

Passo 3

Para um gás ideal, a energia interna Uideal depende apenas da temperatura e não do volume. Isso significa que, para gases ideais:
( partial Uidealpartial V )T = 0
Então, a energia interna de um gás ideal pode ser escrita apenas como uma função da temperatura:
Uideal = Uideal(T)

Passo 4

Agora, vamos olhar para a expressão dada no exercício:
Ureal(T, V, N) = Uideal(T, N) + integralinfty^V ( partial Upartial V )T dV
Essa equação nos mostra que a energia interna real é igual à energia interna ideal mais uma integral que leva em conta as interações reais entre as moléculas do gás, que dependem do volume.

Passo 5

Para encontrar CV para o gás real, vamos derivar Ureal em relação à temperatura, mantendo o volume constante:
CV^real = ( partial Urealpartial T )V
Substituindo a expressão de Ureal:
CV^real = ( partial Uidealpartial T )V + ( partialpartial T integralinfty^V ( partial Upartial V )T dV )V

Passo 6

Agora, vamos analisar cada termo separadamente. O primeiro termo, ( partial Uidealpartial T )V, é exatamente a definição de CV para o gás ideal:
CV^ideal = ( partial Uidealpartial T )V

Passo 7

Para o segundo termo, observe que estamos derivando uma integral em relação à temperatura. Se a derivada dentro da integral for zero, esse termo desaparece. No caso de um gás ideal, já vimos que ( partial Uidealpartial V )T = 0. Portanto, para um gás ideal:
( partialpartial T integralinfty^V 0 , dV )V = 0

Passo 8

Então, juntando tudo:
CV^real = CV^ideal + 0 = CV^ideal
Isso mostra que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal.

Resposta

A capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal, ou seja, CV^real = CV^ideal.

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