Mostre que isto implica que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma expressão para a energia interna real (
) de um gás em termos da energia interna de um gás ideal (
) e uma integral que depende do volume. O objetivo aqui é mostrar que a capacidade calorífica a volume constante (
) para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia interna e a capacidade calorífica se relacionam, especialmente no contexto dos gases ideais e de van der Waals.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a capacidade calorífica a volume constante,
. Ela é definida como a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma quantidade de gás em 1 grau, mantendo o volume constante. Matematicamente, é dada por:
Aqui,
é a energia interna do sistema.
Passo 3
Para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura e não do volume. Isso significa que, para gases ideais:
Então, a energia interna de um gás ideal pode ser escrita apenas como uma função da temperatura:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a expressão dada no exercício:
Essa equação nos mostra que a energia interna real é igual à energia interna ideal mais uma integral que leva em conta as interações reais entre as moléculas do gás, que dependem do volume.
Passo 5
Para encontrar
para o gás real, vamos derivar
em relação à temperatura, mantendo o volume constante:
Substituindo a expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos analisar cada termo separadamente. O primeiro termo,
, é exatamente a definição de
para o gás ideal:
Passo 7
Para o segundo termo, observe que estamos derivando uma integral em relação à temperatura. Se a derivada dentro da integral for zero, esse termo desaparece. No caso de um gás ideal, já vimos que
. Portanto, para um gás ideal:
Passo 8
Então, juntando tudo:
Isso mostra que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal.
Resposta
A capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal, ou seja,
.