Um carro da polícia se desloca em linha reta com velocidade constante v_{P}. Um caminhão que se move no mesmo sentido com velocidade \frac{3}{2} v_{P} ultrapassa o carro. A motorista que dirige o caminhão verifica que está acelerando e imediatamente começa a diminuir sua velocidade com uma taxa constante. Contudo, ela estava em um dia de sorte e o policial (ainda movendo-se com a mesma velocidade) passa pelo caminhão sem aplicar-lhe a multa.
(a) Mostre que a velocidade do caminhão no instante em que o carro da polícia passa por ele não depende do módulo da aceleração do caminhão no momento em que ele começa a diminuir sua velocidade e calcule o valor dessa velocidade.
R: v_{C}=\frac{1}{2} v_{P}.
(b) Faça um gráfico x-t para os dois veículos.

Passo 1

O enunciado diz que um carro da polícia se move em linha reta com velocidade constante v_{P}. Num dado instante (que chamamos de t=0) um caminhão o ultrapassa com velocidade inicial
v_0 = \tfrac32\,v_{P}
Imediatamente após passar, o caminhoneiro aplica frenagem constante de módulo a, reduzindo sua velocidade. Pergunta-se a velocidade do caminhão no instante em que o carro da polícia, ainda a v_{P}, o alcança de novo. Esse é um problema de cinemática com aceleração constante.

Passo 2

Definimos as funções posição em t\ge0 tomando x=0 em t=0 no ponto de ultrapassagem:
x_{P}(t)=v_{P}\,t, \quad x_{C}(t)=v_{0}\,t-\tfrac12\,a\,t^{2} =\tfrac32\,v_{P}\,t-\tfrac12\,a\,t^{2}.
No instante t=T>0 em que o carro alcança o caminhão devemos ter
x_{P}(T)=x_{C}(T).
Logo,
v_{P}\,T = \tfrac32\,v_{P}\,T-\tfrac12\,a\,T^{2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\tfrac32\,v_{P}-v_{P}\bigr)T =\tfrac12\,a\,T^{2}.

Passo 3

Como T>0, podemos simplificar um fator T, obtendo
\tfrac12\,v_{P} =\tfrac12\,a\,T \quad\Longrightarrow\quad T=\frac{v_{P}}{a}.
A velocidade do caminhão nesse instante é
v_{C}(T) = v_{0}-a\,T = \tfrac32\,v_{P}-a\;\frac{v_{P}}{a} = \tfrac32\,v_{P}-v_{P} = \tfrac12\,v_{P}.
Note que esse resultado não depende de a, apenas de v_{P}.

Passo 4

Para o gráfico x versus t:
O carro da polícia traça uma reta partindo da origem com inclinação v_{P}:
x_{P}(t)=v_{P}\,t.
O caminhão descreve uma parábola côncava para baixo, também partindo da origem, com inclinação inicial 3/2\,v_{P} em t=0 e inclinação final 1/2\,v_{P} em t=T. Essas duas curvas se cruzam em t=0 e em t=T=v_{P}/a. Entre 0 e T, a parábola fica acima da reta (pois v_{C}>v_{P}), e para t>T a reta sobrepõe a parábola (pois então v_{C}<v_{P}).

Resposta

(a) \displaystyle v_{C}=\tfrac12\,v_{P}.
(b) O gráfico x(t) do carro é a reta x_{P}(t)=v_{P}t; o do caminhão é a parábola
x_{C}(t)=\tfrac32\,v_{P}\,t-\tfrac12\,a\,t^{2},
ambas partindo de x=0, cruzando-se em t=0 e em t=T=v_{P}/a.

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