A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x depende do tempo (para t \geq 0 ) de acordo com a equação
x(t)=A t^{2}-B t^{3}
\operatorname{com} A=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e B=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}.
(a) Em que instante a partícula alcança sua posição positiva máxima em x ?
\mathbf{R}: t=\frac{2}{3} s
(b) Qual a distância total percorrida pela partícula nos primeiros 4s?
\mathbf{R}: d=48,3 \mathrm{~m}
(c) Escreva a aceleração da partícula em função do tempo?
\mathbf{R}: a(t)=2-6 t

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo para t\ge0:
x(t)=A\,t^{2}-B\,t^{3},
com A=1 m/ s^{2} e B=1 m/ s^{3}. Pede-se:
(a) o instante em que x é máximo positivo;
(b) a distância total percorrida de t=0 a t=4 s;
(c) a aceleração a(t).

Passo 2

Vamos achar a velocidade derivando x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=2A\,t-3B\,t^{2}.
Como A=B=1, fica
v(t)=2t-3t^{2}=t(2-3t).
Para máximos/minimos, impomos v(t)=0, obtendo t=0 ou t=\tfrac{2}{3}. O ponto t=0 é o início, então o máximo positivo ocorre em
t=\frac{2}{3}\text{ s}.

Passo 3

A aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=2-6t.
Note que em t=\tfrac{2}{3} temos a\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=2-6\cdot\tfrac{2}{3}=-2<0, confirmando que ali está um máximo de x.

Passo 4

Como v(t) muda de sinal em t=\tfrac{2}{3}, calculamos a distância em dois trechos:
x(t)=t^{2}-t^{3}, \quad x\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=\frac{4}{27}, \quad x(0)=0, \quad x(4)=16-64=-48.
Distância do primeiro trecho:
\Delta_1=x\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)-x(0)=\frac{4}{27}.
Distância do segundo trecho:
\Delta_2=\bigl|x(4)-x\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\bigr| =\bigl|-48-\tfrac{4}{27}\bigr| =\frac{1300}{27}.
Somando,
d=\Delta_1+\Delta_2 =\frac{4}{27}+\frac{1300}{27} =\frac{1304}{27}\approx48,3\text{ m}.

Resposta

(a) t=\tfrac{2}{3}\,\text{s}
(b) d=48,3\text{ m}
(c) a(t)=2-6t

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